Тригонометрия Примеры

$2 \cos^{2} (2 θ) = 1 - \cos (2 θ)$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $\cos (2 θ)$ .

$2 {(u)}^{2} = 1 - (u)$

Этап 2

Добавим $u$ к обеим частям уравнения.

$2 u^{2} + u = 1$

Этап 3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 u^{2} + u - 1 = 0$

Этап 4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим на $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

Этап 4.1.2

Запишем $1$ как $- 1$ плюс $2$

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

Этап 4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Этап 6

Приравняем $2 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $2 u - 1$ к $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $2 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 u = 1$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $2 u = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $2 u = 1$ на $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Этап 7

Приравняем $u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 7.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ верно.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Этап 9

Подставим $\cos (2 θ)$ вместо $u$ .

$\cos (2 θ) = \frac{1}{2}, - 1$

Этап 10

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\cos (2 θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (2 θ) = - 1$

Этап 11

Решим относительно $θ$ в $\cos (2 θ) = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$2 θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $60$ .

$2 θ = 60$

Этап 11.3

Разделим каждый член $2 θ = 60$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Разделим каждый член $2 θ = 60$ на $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{60}{2}$

Этап 11.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{60}{2}$

Этап 11.3.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{60}{2}$

Этап 11.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.1

Разделим $60$ на $2$ .

$θ = 30$

Этап 11.4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 θ = 360 - 60$

Этап 11.5

Решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Вычтем $60$ из $360$ .

$2 θ = 300$

Этап 11.5.2

Разделим каждый член $2 θ = 300$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.1

Разделим каждый член $2 θ = 300$ на $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{300}{2}$

Этап 11.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{300}{2}$

Этап 11.5.2.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{300}{2}$

Этап 11.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.3.1

Разделим $300$ на $2$ .

$θ = 150$

Этап 11.6

Найдем период $\cos (2 θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 11.6.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 2 |}$

Этап 11.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{360}{2}$

Этап 11.6.4

Разделим $360$ на $2$ .

$180$

Этап 11.7

Период функции $\cos (2 θ)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Решим относительно $θ$ в $\cos (2 θ) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$2 θ = \arccos (- 1)$

Этап 12.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $180$ .

$2 θ = 180$

Этап 12.3

Разделим каждый член $2 θ = 180$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Разделим каждый член $2 θ = 180$ на $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

Этап 12.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

Этап 12.3.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{180}{2}$

Этап 12.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.1

Разделим $180$ на $2$ .

$θ = 90$

Этап 12.4

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в третьем квадранте.

$2 θ = 360 - 180$

Этап 12.5

Решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Вычтем $180$ из $360$ .

$2 θ = 180$

Этап 12.5.2

Разделим каждый член $2 θ = 180$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.1

Разделим каждый член $2 θ = 180$ на $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

Этап 12.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

Этап 12.5.2.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{180}{2}$

Этап 12.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.3.1

Разделим $180$ на $2$ .

$θ = 90$

Этап 12.6

Найдем период $\cos (2 θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 12.6.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 2 |}$

Этап 12.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{360}{2}$

Этап 12.6.4

Разделим $360$ на $2$ .

$180$

Этап 12.7

Период функции $\cos (2 θ)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$θ = 90 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Перечислим все решения.

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n, 90 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 14

Объединим ответы.

$θ = 30 + 60 n$ , для любого целого $n$