Тригонометрия Примеры

$8 \tan (x) \sin (x) = \sin (x)$

Этап 1

Вычтем $\sin (x)$ из обеих частей уравнения.

$8 \tan (x) \sin (x) - \sin (x) = 0$

Этап 2

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$8 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cdot \sin (x) - \sin (x) = 0$

Этап 2.1.2

Объединим $8$ и $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{8 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x) - \sin (x) = 0$

Этап 2.1.3

Умножим $\frac{8 \sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Объединим $\frac{8 \sin (x)}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{8 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

Этап 2.1.3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{8 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

Этап 2.1.3.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{8 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

Этап 2.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

Этап 2.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{8 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{8 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

Этап 2.2.2

Разделим дроби.

$\frac{8 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

Этап 2.2.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{8 (\sin (x))}{1} \cdot \tan (x) - \sin (x) = 0$

Этап 2.2.4

Разделим $8 (\sin (x))$ на $1$ .

$8 \sin (x) \tan (x) - \sin (x) = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $8 \sin (x) \tan (x) - \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $8 \sin (x) \tan (x)$ .

$\sin (x) (8 \tan (x)) - \sin (x) = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (8 \tan (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) (8 \tan (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (8 \tan (x) - 1) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$8 \tan (x) - 1 = 0$

Этап 5

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 5.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 5.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = 180 - 0$

Этап 5.2.4

Вычтем $0$ из $180$ .

$x = 180$

Этап 5.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 5.2.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 5.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$x = 360 n, 180 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $8 \tan (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $8 \tan (x) - 1$ к $0$ .

$8 \tan (x) - 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $8 \tan (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$8 \tan (x) = 1$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $8 \tan (x) = 1$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $8 \tan (x) = 1$ на $8$ .

$\frac{8 \tan (x)}{8} = \frac{1}{8}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 \tan (x)}{8} = \frac{1}{8}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{8}$

Этап 6.2.3

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (\frac{1}{8})$

Этап 6.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Найдем значение $\arctan (\frac{1}{8})$ .

$x = 7.12501634$

Этап 6.2.5

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 180 + 7.12501634$

Этап 6.2.6

Добавим $180$ и $7.12501634$ .

$x = 187.12501634$

Этап 6.2.7

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 6.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 6.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 6.2.7.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 6.2.8

Период функции $\tan (x)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$x = 7.12501634 + 180 n, 187.12501634 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sin (x) (8 \tan (x) - 1) = 0$ верно.

$x = 360 n, 180 + 360 n, 7.12501634 + 180 n, 187.12501634 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $360 n$ и $180 + 360 n$ в $180 n$ .

$x = 180 n, 7.12501634 + 180 n, 187.12501634 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 8.2

Объединим $7.12501634 + 180 n$ и $187.12501634 + 180 n$ в $7.12501634 + 180 n$ .

$x = 180 n, 7.12501634 + 180 n$ , для любого целого $n$