Тригонометрия Примеры

$\frac{6 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

Этап 1

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $3$ из $6 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$ .

$\frac{3 (2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

Этап 1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6})}$

Этап 2

Умножим числитель и знаменатель $\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{0.8660254 + 0.5 i}$ на комплексно сопряженное $0.8660254 + 0.5 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{0.8660254 + 0.5 i} \cdot \frac{0.8660254 - 0.5 i}{0.8660254 - 0.5 i}$

Этап 3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим.

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Этап 3.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Этап 3.2.1.3

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Этап 3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Этап 3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(1 + i \sqrt{3}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Этап 3.2.5

Развернем $(1 + i \sqrt{3}) (0.8660254 - 0.5 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (0.8660254 - 0.5 i) + i \sqrt{3} (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Этап 3.2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Этап 3.2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Этап 3.2.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1.1

Умножим $0.8660254$ на $1$ .

$\frac{0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Этап 3.2.6.1.2

Умножим $- 0.5 i$ на $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Этап 3.2.6.1.3

Умножим $0.8660254$ на $\sqrt{3}$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + i \cdot 1.5 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Этап 3.2.6.1.4

Перенесем $1.5$ влево от $i$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 \cdot i + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Этап 3.2.6.1.5

Умножим $i \sqrt{3} (- 0.5 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1.5.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 (i^{1} i))}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Этап 3.2.6.1.5.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 (i^{1} i^{1}))}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Этап 3.2.6.1.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 i^{1 + 1})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Этап 3.2.6.1.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 i^{2})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Этап 3.2.6.1.5.5

Умножим $- 0.5$ на $\sqrt{3}$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i - 0.8660254 i^{2}}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Этап 3.2.6.1.6

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i - 0.8660254 \cdot - 1}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Этап 3.2.6.1.7

Умножим $- 0.8660254$ на $- 1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + 0.8660254}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Этап 3.2.6.2

Добавим $0.8660254$ и $0.8660254$ .

$\frac{1.7320508 - 0.5 i + 1.5 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Этап 3.2.6.3

Добавим $- 0.5 i$ и $1.5 i$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Этап 3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Развернем $(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 (0.8660254 - 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Этап 3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $0.8660254$ на $0.8660254$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 0.5$ на $0.8660254$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Этап 3.3.2.3

Умножим $0.8660254$ на $0.5$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Этап 3.3.2.4

Умножим $- 0.5$ на $0.5$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i i}$

Этап 3.3.2.5

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i)}$

Этап 3.3.2.6

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i^{1})}$

Этап 3.3.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{1 + 1}}$

Этап 3.3.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{2}}$

Этап 3.3.2.9

Добавим $- 0.4330127 i$ и $0.4330127 i$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 i - 0.25 i^{2}}$

Этап 3.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $0$ на $i$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 - 0.25 i^{2}}$

Этап 3.3.3.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 - 0.25 \cdot - 1}$

Этап 3.3.3.3

Умножим $- 0.25$ на $- 1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 + 0.25}$

Этап 3.3.4

Добавим $0.75$ и $0$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0.25}$

Этап 3.3.5

Добавим $0.75$ и $0.25$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

Этап 4

Перепишем $1.7320508$ в виде $1 (1.7320508)$ .

$\frac{1 (1.7320508) + 1 i}{1}$

Этап 5

Вынесем множитель $1$ из $1 i$ .

$\frac{1 (1.7320508) + 1 (1 i)}{1}$

Этап 6

Вынесем множитель $1$ из $1 (1.7320508) + 1 (1 i)$ .

$\frac{1 (1.7320508 + 1 i)}{1}$

Этап 7

Вынесем множитель $1$ из $1$ .

$\frac{1 (1.7320508 + 1 i)}{1 (1)}$

Этап 8

Разделим дроби.

$\frac{1}{1} \cdot \frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим $1$ на $1$ .

$1 \frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

Этап 9.2

Разделим $1.7320508 + 1 i$ на $1$ .

$1 (1.7320508 + 1 i)$

Этап 10

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1.7320508 + 1 (1 i)$

Этап 11

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $1$ на $1.7320508$ .

$1.7320508 + 1 (1 i)$

Этап 11.2

Умножим $1$ на $1$ .

$1.7320508 + 1 i$

Этап 12

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 13

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 14

Подставим фактические значения $a = 1.7320508$ и $b = 1$ .

$| z | = \sqrt{1^{2} + {1.7320508}^{2}}$

Этап 15

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Возведем $1$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + {1.7320508}^{2}}$

Этап 15.2

Возведем $1.7320508$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + 3}$

Этап 15.3

Добавим $1$ и $3$ .

$| z | = \sqrt{4}$

Этап 15.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Этап 15.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 2$

Этап 16

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{1}{1.7320508})$

Этап 17

Поскольку обратный тангенс $\frac{1}{1.7320508}$ дает угол в первом квадранте, значение угла равно $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Этап 18

Подставим значения $θ = \frac{π}{6}$ и $| z | = 2$ .

$2 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$