Тригонометрия Примеры

$2 \tan^{2} (θ) - 5 \tan (θ) + 4 = - 8 \tan (θ) + 6$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $8 \tan (θ)$ к обеим частям уравнения.

$2 \tan^{2} (θ) - 5 \tan (θ) + 4 + 8 \tan (θ) = 6$

Этап 1.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$2 \tan^{2} (θ) - 5 \tan (θ) + 4 + 8 \tan (θ) - 6 = 0$

Этап 2

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $- 5 \tan (θ)$ и $8 \tan (θ)$ .

$2 \tan^{2} (θ) + 4 + 3 \tan (θ) - 6 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $6$ из $4$ .

$2 \tan^{2} (θ) - 2 + 3 \tan (θ) = 0$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок членов.

$2 \tan^{2} (θ) + 3 \tan (θ) - 2 = 0$

Этап 3.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \tan (θ)$ .

$2 \tan^{2} (θ) + 3 \tan (θ) - 2 = 0$

Этап 3.2.2

Запишем $3$ как $- 1$ плюс $4$

$2 \tan^{2} (θ) + (- 1 + 4) \tan (θ) - 2 = 0$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \tan^{2} (θ) - 1 \tan (θ) + 4 \tan (θ) - 2 = 0$

Этап 3.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 \tan^{2} (θ) - 1 \tan (θ) + 4 \tan (θ) - 2 = 0$

Этап 3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\tan (θ) (2 \tan (θ) - 1) + 2 (2 \tan (θ) - 1) = 0$

Этап 3.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 \tan (θ) - 1$ .

$(2 \tan (θ) - 1) (\tan (θ) + 2) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 \tan (θ) - 1 = 0$

$\tan (θ) + 2 = 0$

Этап 5

Приравняем $2 \tan (θ) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $2 \tan (θ) - 1$ к $0$ .

$2 \tan (θ) - 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $2 \tan (θ) - 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 \tan (θ) = 1$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $2 \tan (θ) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $2 \tan (θ) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $\tan (θ)$ на $1$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (\frac{1}{2})$

Этап 5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Найдем значение $\arctan (\frac{1}{2})$ .

$θ = 26.56505117$

Этап 5.2.5

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 180 + 26.56505117$

Этап 5.2.6

Добавим $180$ и $26.56505117$ .

$θ = 206.56505117$

Этап 5.2.7

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 5.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 5.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 5.2.7.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 5.2.8

Период функции $\tan (θ)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$θ = 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $\tan (θ) + 2$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\tan (θ) + 2$ к $0$ .

$\tan (θ) + 2 = 0$

Этап 6.2

Решим $\tan (θ) + 2 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\tan (θ) = - 2$

Этап 6.2.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (- 2)$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Найдем значение $\arctan (- 2)$ .

$θ = - 63.43494882$

Этап 6.2.4

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = - 63.43494882 - 180$

Этап 6.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Добавим $360 °$ к $- 63.43494882 - 180 °$ .

$θ = - 63.43494882 - 180 ° + 360 °$

Этап 6.2.5.2

Результирующий угол $116.56505117 °$ является положительным и отличается от $- 63.43494882 - 180$ на полный оборот.

$θ = 116.56505117 °$

Этап 6.2.6

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 6.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 6.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 6.2.6.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 6.2.7

Добавим $180$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Добавим $180$ к $- 63.43494882$ , чтобы найти положительный угол.

$- 63.43494882 + 180$

Этап 6.2.7.2

Вычтем $63.43494882$ из $180$ .

$116.56505117$

Этап 6.2.7.3

Перечислим новые углы.

$θ = 116.56505117$

Этап 6.2.8

Период функции $\tan (θ)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$θ = 116.56505117 + 180 n, 116.56505117 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 \tan (θ) - 1) (\tan (θ) + 2) = 0$ верно.

$θ = 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n, 116.56505117 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

$θ = 26.56505117 + 90 n$ , для любого целого $n$