Тригонометрия Примеры

$4 \csc^{2} (θ) - 25 = 0$

Этап 1

Добавим $25$ к обеим частям уравнения.

$4 \csc^{2} (θ) = 25$

Этап 2

Разделим каждый член $4 \csc^{2} (θ) = 25$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $4 \csc^{2} (θ) = 25$ на $4$ .

$\frac{4 \csc^{2} (θ)}{4} = \frac{25}{4}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \csc^{2} (θ)}{4} = \frac{25}{4}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\csc^{2} (θ)$ на $1$ .

$\csc^{2} (θ) = \frac{25}{4}$

Этап 3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\csc (θ) = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Этап 4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{25}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ .

$\csc (θ) = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\csc (θ) = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Этап 4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\csc (θ) = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\csc (θ) = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 4.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\csc (θ) = \pm \frac{5}{2}$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\csc (θ) = \frac{5}{2}$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\csc (θ) = - \frac{5}{2}$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\csc (θ) = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Этап 6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\csc (θ) = \frac{5}{2}$

$\csc (θ) = - \frac{5}{2}$

Этап 7

Решим относительно $θ$ в $\csc (θ) = \frac{5}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $θ$ из-под знака косеканса.

$θ = arccsc (\frac{5}{2})$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $arccsc (\frac{5}{2})$ .

$θ = 23.57817847$

Этап 7.3

Функция косеканса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ = 180 - 23.57817847$

Этап 7.4

Вычтем $23.57817847$ из $180$ .

$θ = 156.42182152$

Этап 7.5

Найдем период $\csc (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 7.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 7.6

Период функции $\csc (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 23.57817847 + 360 n, 156.42182152 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Решим относительно $θ$ в $\csc (θ) = - \frac{5}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $θ$ из-под знака косеканса.

$θ = arccsc (- \frac{5}{2})$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $arccsc (- \frac{5}{2})$ .

$θ = - 23.57817847$

Этап 8.3

Функция косеканса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $360$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $180$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 360 + 23.57817847 + 180$

Этап 8.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Вычтем $360 °$ из $360 + 23.57817847 + 180 °$ .

$θ = 360 + 23.57817847 + 180 ° - 360 °$

Этап 8.4.2

Результирующий угол $203.57817847 °$ является положительным, меньшим $360 °$ и отличается от $360 + 23.57817847 + 180$ на полный оборот.

$θ = 203.57817847 °$

Этап 8.5

Найдем период $\csc (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 8.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 8.6

Добавим $360$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Добавим $360$ к $- 23.57817847$ , чтобы найти положительный угол.

$- 23.57817847 + 360$

Этап 8.6.2

Вычтем $23.57817847$ из $360$ .

$336.42182152$

Этап 8.6.3

Перечислим новые углы.

$θ = 336.42182152$

Этап 8.7

Период функции $\csc (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 203.57817847 + 360 n, 336.42182152 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Перечислим все решения.

$θ = 23.57817847 + 360 n, 156.42182152 + 360 n, 203.57817847 + 360 n, 336.42182152 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $23.57817847 + 360 n$ и $203.57817847 + 360 n$ в $23.57817847 + 180 n$ .

$θ = 23.57817847 + 180 n, 156.42182152 + 360 n, 336.42182152 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 10.2

Объединим $156.42182152 + 360 n$ и $336.42182152 + 360 n$ в $156.42182152 + 180 n$ .

$θ = 23.57817847 + 180 n, 156.42182152 + 180 n$ , для любого целого $n$