Тригонометрия Примеры

$8 \sin (x) \cos (x) + \cos (x) = 0$

Этап 1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $8 \sin (x) \cos (x) + \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $8 \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) (8 \sin (x)) + \cos (x) = 0$

Этап 1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\cos (x) (8 \sin (x)) + \cos (x) = 0$

Этап 1.3

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{1} (x)$ .

$\cos (x) (8 \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 = 0$

Этап 1.4

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) (8 \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1$ .

$\cos (x) (8 \sin (x) + 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (x) = 0$

$8 \sin (x) + 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 3.2

Решим $\cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $90$ .

$x = 90$

Этап 3.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 360 - 90$

Этап 3.2.4

Вычтем $90$ из $360$ .

$x = 270$

Этап 3.2.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 3.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 3.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 3.2.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 3.2.6

Период функции $\cos (x)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$x = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $8 \sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $8 \sin (x) + 1$ к $0$ .

$8 \sin (x) + 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $8 \sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$8 \sin (x) = - 1$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $8 \sin (x) = - 1$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $8 \sin (x) = - 1$ на $8$ .

$\frac{8 \sin (x)}{8} = \frac{- 1}{8}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 \sin (x)}{8} = \frac{- 1}{8}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{8}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x) = - \frac{1}{8}$

Этап 4.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1}{8})$

Этап 4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Найдем значение $\arcsin (- \frac{1}{8})$ .

$x = - 7.18075578$

Этап 4.2.5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $360$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $180$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 360 + 7.18075578 + 180$

Этап 4.2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Вычтем $360 °$ из $360 + 7.18075578 + 180 °$ .

$x = 360 + 7.18075578 + 180 ° - 360 °$

Этап 4.2.6.2

Результирующий угол $187.18075578 °$ является положительным, меньшим $360 °$ и отличается от $360 + 7.18075578 + 180$ на полный оборот.

$x = 187.18075578 °$

Этап 4.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 4.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 4.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 4.2.7.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 4.2.8

Добавим $360$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Добавим $360$ к $- 7.18075578$ , чтобы найти положительный угол.

$- 7.18075578 + 360$

Этап 4.2.8.2

Вычтем $7.18075578$ из $360$ .

$352.81924421$

Этап 4.2.8.3

Перечислим новые углы.

$x = 352.81924421$

Этап 4.2.9

Период функции $\sin (x)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$x = 187.18075578 + 360 n, 352.81924421 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $\cos (x) (8 \sin (x) + 1) = 0$ верно.

$x = 90 + 360 n, 270 + 360 n, 187.18075578 + 360 n, 352.81924421 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Объединим $90 + 360 n$ и $270 + 360 n$ в $90 + 180 n$ .

$x = 90 + 180 n, 187.18075578 + 360 n, 352.81924421 + 360 n$ , для любого целого $n$