Тригонометрия Примеры

$\sec (t) = 2$ , $\sin (t) < 0$

Этап 1

The sine function is negative in the third and fourth quadrants. The secant function is positive in the first and fourth quadrants. The set of solutions for $t$ are limited to the fourth quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

Решение находится в четвертом квадранте.

Этап 2

Воспользуемся определением секанса, чтобы найти известные стороны прямоугольного треугольника, вписанного в единичную окружность. Квадрант определяет знак каждого значения.

$\sec (t) = \frac{гипотенуза}{смежные}$

Этап 3

Найдем противолежащую сторону треугольника в единичной окружности. Поскольку прилежащая сторона и гипотенуза известны, используем теорему Пифагора, чтобы найти оставшуюся сторону.

$Противоположные = - \sqrt{{гипотенуза}^{2} - {смежные}^{2}}$

Этап 4

Заменим известные значения в уравнении.

$Противоположные = - \sqrt{{(2)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Этап 5

Упростим подкоренное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим знак $\sqrt{{(2)}^{2} - {(1)}^{2}}$ на противоположный.

Противоположный $= - \sqrt{{(2)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Этап 5.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

Противоположный $= - \sqrt{4 - {(1)}^{2}}$

Этап 5.3

Единица в любой степени равна единице.

Противоположный $= - \sqrt{4 - 1 \cdot 1}$

Этап 5.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

Противоположный $= - \sqrt{4 - 1}$

Этап 5.5

Вычтем $1$ из $4$ .

Противоположный $= - \sqrt{3}$

Этап 6

Найдем значение синуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Воспользуемся определением синуса, чтобы найти значение $\sin (t)$ .

$\sin (t) = \frac{opp}{hyp}$

Этап 6.2

Подставим известные значения.

$\sin (t) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (t) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 7

Найдем значение косинуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Воспользуемся определением косинуса, чтобы найти значение $\cos (t)$ .

$\cos (t) = \frac{adj}{hyp}$

Этап 7.2

Подставим известные значения.

$\cos (t) = \frac{1}{2}$

Этап 8

Найдем значение тангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Воспользуемся определением тангенса, чтобы найти значение $\tan (t)$ .

$\tan (t) = \frac{opp}{adj}$

Этап 8.2

Подставим известные значения.

$\tan (t) = \frac{- \sqrt{3}}{1}$

Этап 8.3

Разделим $- \sqrt{3}$ на $1$ .

$\tan (t) = - \sqrt{3}$

Этап 9

Найдем значение котангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Воспользуемся определением котангенса, чтобы найти значение $\cot (t)$ .

$\cot (t) = \frac{adj}{opp}$

Этап 9.2

Подставим известные значения.

$\cot (t) = \frac{1}{- \sqrt{3}}$

Этап 9.3

Упростим значение $\cot (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\cot (t) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{3}}$

Этап 9.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cot (t) = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 9.3.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (t) = - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 9.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (t) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 9.3.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cot (t) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 9.3.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cot (t) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 9.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cot (t) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cot (t) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 9.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (t) = - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (t) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cot (t) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cot (t) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cot (t) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 9.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\cot (t) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 10

Найдем значение косеканса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Воспользуемся определением косеканса, чтобы найти значение $\csc (t)$ .

$\csc (t) = \frac{hyp}{opp}$

Этап 10.2

Подставим известные значения.

$\csc (t) = \frac{2}{- \sqrt{3}}$

Этап 10.3

Упростим значение $\csc (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\csc (t) = - \frac{2}{\sqrt{3}}$

Этап 10.3.2

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (t) = - (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 10.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (t) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 10.3.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\csc (t) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 10.3.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\csc (t) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 10.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\csc (t) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 10.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\csc (t) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 10.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (t) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 10.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (t) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 10.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\csc (t) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\csc (t) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\csc (t) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 10.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\csc (t) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 11

Это решение для каждого тригонометрического значения.

$\sin (t) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (t) = \frac{1}{2}$

$\tan (t) = - \sqrt{3}$

$\cot (t) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sec (t) = 2$

$\csc (t) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$