Тригонометрия Примеры

$\sec^{2} (θ) - 9 \sec (θ) + 20 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \sec (θ)$ . Подставим $u$ вместо $\sec (θ)$ для всех.

$u^{2} - 9 u + 20 = 0$

Этап 1.2

Разложим $u^{2} - 9 u + 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $20$ , а сумма — $- 9$ .

$- 5, - 4$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 5) (u - 4) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (θ)$ .

$(\sec (θ) - 5) (\sec (θ) - 4) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sec (θ) - 5 = 0$

$\sec (θ) - 4 = 0$

Этап 3

Приравняем $\sec (θ) - 5$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\sec (θ) - 5$ к $0$ .

$\sec (θ) - 5 = 0$

Этап 3.2

Решим $\sec (θ) - 5 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$\sec (θ) = 5$

Этап 3.2.2

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $θ$ из-под знака секанса.

$θ = arcsec (5)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Найдем значение $arcsec (5)$ .

$θ = 78.46304096$

Этап 3.2.4

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 360 - 78.46304096$

Этап 3.2.5

Вычтем $78.46304096$ из $360$ .

$θ = 281.53695903$

Этап 3.2.6

Найдем период $\sec (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 3.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 3.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 3.2.6.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 3.2.7

Период функции $\sec (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 78.46304096 + 360 n, 281.53695903 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\sec (θ) - 4$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\sec (θ) - 4$ к $0$ .

$\sec (θ) - 4 = 0$

Этап 4.2

Решим $\sec (θ) - 4 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$\sec (θ) = 4$

Этап 4.2.2

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $θ$ из-под знака секанса.

$θ = arcsec (4)$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Найдем значение $arcsec (4)$ .

$θ = 75.52248781$

Этап 4.2.4

$θ = 360 - 75.52248781$

Этап 4.2.5

Вычтем $75.52248781$ из $360$ .

$θ = 284.47751218$

Этап 4.2.6

Найдем период $\sec (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 4.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 4.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 4.2.6.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 4.2.7

Период функции $\sec (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\sec (θ) - 5) (\sec (θ) - 4) = 0$ верно.

$θ = 78.46304096 + 360 n, 281.53695903 + 360 n, 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n$ , для любого целого $n$