Тригонометрия Примеры

$\csc (θ) = 4$ , $\cot (θ) < 0$

Этап 1

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. The cosecant function is positive in the first and second quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the second quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

Решение находится во втором квадранте.

Этап 2

Воспользуемся определением косеканса, чтобы найти известные стороны прямоугольного треугольника, вписанного в единичную окружность. Квадрант определяет знак каждого значения.

$\csc (θ) = \frac{гипотенуза}{противоположные}$

Этап 3

Найдем прилежащую сторону треугольника в единичной окружности. Поскольку гипотенуза и противолежащая сторона известны, используем теорему Пифагора, чтобы найти оставшуюся сторону.

$Смежные = - \sqrt{{гипотенуза}^{2} - {противоположные}^{2}}$

Этап 4

Заменим известные значения в уравнении.

$Смежные = - \sqrt{{(4)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Этап 5

Упростим подкоренное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим знак $\sqrt{{(4)}^{2} - {(1)}^{2}}$ на противоположный.

Смежный $= - \sqrt{{(4)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Этап 5.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

Смежный $= - \sqrt{16 - {(1)}^{2}}$

Этап 5.3

Единица в любой степени равна единице.

Смежный $= - \sqrt{16 - 1 \cdot 1}$

Этап 5.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

Смежный $= - \sqrt{16 - 1}$

Этап 5.5

Вычтем $1$ из $16$ .

Смежный $= - \sqrt{15}$

Этап 6

Найдем значение синуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Воспользуемся определением синуса, чтобы найти значение $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Этап 6.2

Подставим известные значения.

$\sin (θ) = \frac{1}{4}$

Этап 7

Найдем значение косинуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Воспользуемся определением косинуса, чтобы найти значение $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Этап 7.2

Подставим известные значения.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{15}}{4}$

Этап 7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{4}$

Этап 8

Найдем значение тангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Воспользуемся определением тангенса, чтобы найти значение $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Этап 8.2

Подставим известные значения.

$\tan (θ) = \frac{1}{- \sqrt{15}}$

Этап 8.3

Упростим значение $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\tan (θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{15}}$

Этап 8.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\tan (θ) = - \frac{1}{\sqrt{15}}$

Этап 8.3.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{15}}$ на $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\tan (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

Этап 8.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{15}}$ на $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Этап 8.3.3.2

Возведем $\sqrt{15}$ в степень $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Этап 8.3.3.3

Возведем $\sqrt{15}$ в степень $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Этап 8.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Этап 8.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{15}}^{2}$ в виде $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{15}$ в виде $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15}$

Этап 8.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15}$

Этап 9

Найдем значение котангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Воспользуемся определением котангенса, чтобы найти значение $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Этап 9.2

Подставим известные значения.

$\cot (θ) = \frac{- \sqrt{15}}{1}$

Этап 9.3

Разделим $- \sqrt{15}$ на $1$ .

$\cot (θ) = - \sqrt{15}$

Этап 10

Найдем значение секанса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Воспользуемся определением секанса, чтобы найти значение $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Этап 10.2

Подставим известные значения.

$\sec (θ) = \frac{4}{- \sqrt{15}}$

Этап 10.3

Упростим значение $\sec (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sec (θ) = - \frac{4}{\sqrt{15}}$

Этап 10.3.2

Умножим $\frac{4}{\sqrt{15}}$ на $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\sec (θ) = - (\frac{4}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

Этап 10.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.1

Умножим $\frac{4}{\sqrt{15}}$ на $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Этап 10.3.3.2

Возведем $\sqrt{15}$ в степень $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Этап 10.3.3.3

Возведем $\sqrt{15}$ в степень $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Этап 10.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Этап 10.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Этап 10.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{15}}^{2}$ в виде $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{15}$ в виде $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 10.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 10.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

Этап 10.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

Этап 11

Это решение для каждого тригонометрического значения.

$\sin (θ) = \frac{1}{4}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15}$

$\cot (θ) = - \sqrt{15}$

$\sec (θ) = - \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

$\csc (θ) = 4$