Тригонометрия Примеры

$4 \sin^{2} (θ) = 3$

Этап 1

Разделим каждый член $4 \sin^{2} (θ) = 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $4 \sin^{2} (θ) = 3$ на $4$ .

$\frac{4 \sin^{2} (θ)}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sin^{2} (θ)}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 1.2.1.2

Разделим $\sin^{2} (θ)$ на $1$ .

$\sin^{2} (θ) = \frac{3}{4}$

Этап 2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sin (θ) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Этап 3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 6

Решим относительно $θ$ в $\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $60$ .

$θ = 60$

Этап 6.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ = 180 - 60$

Этап 6.4

Вычтем $60$ из $180$ .

$θ = 120$

Этап 6.5

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 6.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 6.6

Период функции $\sin (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 60 + 360 n, 120 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Решим относительно $θ$ в $\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ : $- 60$ .

$θ = - 60$

Этап 7.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $360$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $180$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 360 + 60 + 180$

Этап 7.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вычтем $360 °$ из $360 + 60 + 180 °$ .

$θ = 360 + 60 + 180 ° - 360 °$

Этап 7.4.2

Результирующий угол $240 °$ является положительным, меньшим $360 °$ и отличается от $360 + 60 + 180$ на полный оборот.

$θ = 240 °$

Этап 7.5

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 7.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 7.6

Добавим $360$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Добавим $360$ к $- 60$ , чтобы найти положительный угол.

$- 60 + 360$

Этап 7.6.2

Вычтем $60$ из $360$ .

$300$

Этап 7.6.3

Перечислим новые углы.

$θ = 300$

Этап 7.7

Период функции $\sin (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 240 + 360 n, 300 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Перечислим все решения.

$θ = 60 + 360 n, 120 + 360 n, 240 + 360 n, 300 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $60 + 360 n$ и $240 + 360 n$ в $60 + 180 n$ .

$θ = 60 + 180 n, 120 + 360 n, 300 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 9.2

Объединим $120 + 360 n$ и $300 + 360 n$ в $120 + 180 n$ .

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n$ , для любого целого $n$