Тригонометрия Примеры

1 - 2 \cos^{2} (x) + \cos^{4} (x)

$1 - 2 \cos^{2} (x) + \cos^{4} (x)$

Этап 1

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где

| z |

$| z |$ — модуль, а

θ

$θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 2

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где

z = a + b i

$z = a + b i$

Этап 3

Подставим фактические значения

a = 1

$a = 1$ и

b = - 2 \cos^{2} (x)

$b = - 2 \cos^{2} (x)$ .

| z | = \sqrt{{(- 2 \cos^{2} (x))}^{2} + 1^{2}}

$| z | = \sqrt{{(- 2 \cos^{2} (x))}^{2} + 1^{2}}$

Этап 4

Найдем

| z |

$| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило умножения к

- 2 \cos^{2} (x)

$- 2 \cos^{2} (x)$ .

| z | = \sqrt{{(- 2)}^{2} {(\cos^{2} (x))}^{2} + 1^{2}}

$| z | = \sqrt{{(- 2)}^{2} {(\cos^{2} (x))}^{2} + 1^{2}}$

Этап 4.2

Возведем

- 2

$- 2$ в степень

2

$2$ .

| z | = \sqrt{4 {(\cos^{2} (x))}^{2} + 1^{2}}

$| z | = \sqrt{4 {(\cos^{2} (x))}^{2} + 1^{2}}$

Этап 4.3

Перемножим экспоненты в

{(\cos^{2} (x))}^{2}

${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

| z | = \sqrt{4 {\cos (x)}^{2 \cdot 2} + 1^{2}}

$| z | = \sqrt{4 {\cos (x)}^{2 \cdot 2} + 1^{2}}$

Этап 4.3.2

Умножим

2

$2$ на

2

$2$ .

| z | = \sqrt{4 \cos^{4} (x) + 1^{2}}

$| z | = \sqrt{4 \cos^{4} (x) + 1^{2}}$

| z | = \sqrt{4 \cos^{4} (x) + 1^{2}}

$| z | = \sqrt{4 \cos^{4} (x) + 1^{2}}$

Этап 4.4

Единица в любой степени равна единице.

| z | = \sqrt{4 \cos^{4} (x) + 1}

$| z | = \sqrt{4 \cos^{4} (x) + 1}$

| z | = \sqrt{4 \cos^{4} (x) + 1}

$| z | = \sqrt{4 \cos^{4} (x) + 1}$

Этап 5

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

θ = \arctan (\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{1})

$θ = \arctan (\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{1})$

Этап 6

Подставим значения

θ = \arctan (\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{1})

$θ = \arctan (\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{1})$ и

| z | = \sqrt{4 \cos^{4} (x) + 1}

$| z | = \sqrt{4 \cos^{4} (x) + 1}$ .

\sqrt{4 \cos^{4} (x) + 1} (\cos (\arctan (\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{1})) + i \sin (\arctan (\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{1})))

$\sqrt{4 \cos^{4} (x) + 1} (\cos (\arctan (\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{1})) + i \sin (\arctan (\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{1})))$