Тригонометрия Примеры

$\frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} = \frac{\sin (x) \cos (x)}{2 \cos^{2} (x) - 1}$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Этап 2

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{\tan (x)}{1 - (\sec^{2} (x) - 1)}$

Этап 3

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - (\sec^{2} (x) - 1)}$

Этап 3.2

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - ({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1)}$

Этап 3.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - (\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1)}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)}$

Этап 4.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{1 - (\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1)}$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - - 1}$

Этап 4.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + 1}$

Этап 4.3.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + 2}$

Этап 4.3.4

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Этап 4.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\frac{- 1 + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Этап 4.4

Объединим.

$\frac{\sin (x) \cdot 1}{\cos (x) \frac{- 1 + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Этап 4.5

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) \frac{- 1 + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Этап 4.6

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{- 1 + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{\sin (x)}{\frac{\cos (x) (- 1 + 2 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2}}}$

Этап 4.7

Сократим выражение $\frac{\cos (x) (- 1 + 2 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2}}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из ${\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{\sin (x)}{\frac{\cos (x) (- 1 + 2 {\cos (x)}^{2})}{\cos (x) \cos (x)}}$

Этап 4.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x)}{\frac{\cos (x) (- 1 + 2 {\cos (x)}^{2})}{\cos (x) \cos (x)}}$

Этап 4.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (x)}{\frac{- 1 + 2 {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}$

Этап 4.8

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (x) \frac{\cos (x)}{- 1 + 2 {\cos (x)}^{2}}$

Этап 4.9

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{\cos (x)}{- 1 + 2 {\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{- 1 + 2 {\cos (x)}^{2}}$

Этап 4.10

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{- 1 (1) + 2 {\cos (x)}^{2}}$

Этап 4.11

Вынесем множитель $- 1$ из $2 {\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{- 1 (1) - (- 2 {\cos (x)}^{2})}$

Этап 4.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (- 2 {\cos (x)}^{2})$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{- 1 (1 - 2 {\cos (x)}^{2})}$

Этап 4.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sin (x) \cos (x)}{1 - 2 \cos^{2} (x)}$

Этап 5

Запишем $- 1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x) \cos (x)}{1 - 2 \cos^{2} (x)}$

Этап 6

Объединим.

$\frac{- (\sin (x) \cos (x))}{1 (1 - 2 \cos^{2} (x))}$

Этап 7

Избавимся от скобок.

$\frac{- \sin (x) \cos (x)}{1 (1 - 2 \cos^{2} (x))}$

Этап 8

Умножим $1 - 2 {\cos (x)}^{2}$ на $1$ .

$\frac{- \sin (x) \cos (x)}{1 - 2 \cos^{2} (x)}$

Этап 9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\cos (x) \sin (x)}{1 - 2 \cos^{2} (x)}$

Этап 10

Перепишем $- \frac{\cos (x) \sin (x)}{1 - 2 \cos^{2} (x)}$ в виде $\frac{\sin (x) \cos (x)}{2 \cos^{2} (x) - 1}$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{2 \cos^{2} (x) - 1}$

Этап 11

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} = \frac{\sin (x) \cos (x)}{2 \cos^{2} (x) - 1}$ — тождество