Тригонометрия Примеры

$16 \sec^{2} (θ) - 25 = 0$

Этап 1

Добавим $25$ к обеим частям уравнения.

$16 \sec^{2} (θ) = 25$

Этап 2

Разделим каждый член $16 \sec^{2} (θ) = 25$ на $16$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $16 \sec^{2} (θ) = 25$ на $16$ .

$\frac{16 \sec^{2} (θ)}{16} = \frac{25}{16}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16 \sec^{2} (θ)}{16} = \frac{25}{16}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\sec^{2} (θ)$ на $1$ .

$\sec^{2} (θ) = \frac{25}{16}$

Этап 3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sec (θ) = \pm \sqrt{\frac{25}{16}}$

Этап 4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{25}{16}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{25}{16}}$ в виде $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{16}}$

Этап 4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sec (θ) = \pm \frac{5}{\sqrt{16}}$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{5}{\sqrt{4^{2}}}$

Этап 4.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sec (θ) = \pm \frac{5}{4}$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sec (θ) = \frac{5}{4}$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sec (θ) = - \frac{5}{4}$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sec (θ) = \frac{5}{4}, - \frac{5}{4}$

Этап 6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\sec (θ) = \frac{5}{4}$

$\sec (θ) = - \frac{5}{4}$

Этап 7

Решим относительно $θ$ в $\sec (θ) = \frac{5}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $θ$ из-под знака секанса.

$θ = arcsec (\frac{5}{4})$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $arcsec (\frac{5}{4})$ .

$θ = 36.86989764$

Этап 7.3

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 360 - 36.86989764$

Этап 7.4

Вычтем $36.86989764$ из $360$ .

$θ = 323.13010235$

Этап 7.5

Найдем период $\sec (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 7.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 7.6

Период функции $\sec (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 36.86989764 + 360 n, 323.13010235 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Решим относительно $θ$ в $\sec (θ) = - \frac{5}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $θ$ из-под знака секанса.

$θ = arcsec (- \frac{5}{4})$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $arcsec (- \frac{5}{4})$ .

$θ = 143.13010235$

Этап 8.3

Функция секанса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 360 - 143.13010235$

Этап 8.4

Вычтем $143.13010235$ из $360$ .

$θ = 216.86989764$

Этап 8.5

Найдем период $\sec (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 8.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 8.6

Период функции $\sec (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 143.13010235 + 360 n, 216.86989764 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Перечислим все решения.

$θ = 36.86989764 + 360 n, 323.13010235 + 360 n, 143.13010235 + 360 n, 216.86989764 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $36.86989764 + 360 n$ и $216.86989764 + 360 n$ в $36.86989764 + 180 n$ .

$θ = 36.86989764 + 180 n, 323.13010235 + 360 n, 143.13010235 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 10.2

Объединим $323.13010235 + 360 n$ и $143.13010235 + 360 n$ в $143.13010235 + 180 n$ .

$θ = 36.86989764 + 180 n, 143.13010235 + 180 n$ , для любого целого $n$