Тригонометрия Примеры

$3 (\cos (π) + i \sin (π))$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$3 (- \cos (0) + i \sin (π))$

Этап 1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$3 (- 1 \cdot 1 + i \sin (π))$

Этап 1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 (- 1 + i \sin (π))$

Этап 1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$3 (- 1 + i \sin (0))$

Этап 1.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$3 (- 1 + i \cdot 0)$

Этап 1.6

Умножим $i$ на $0$ .

$3 (- 1 + 0)$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $- 1$ и $0$ .

$3 \cdot - 1$

Этап 2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3$

Этап 3

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 4

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 5

Подставим фактические значения $a = - 3$ и $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 3)}^{2}}$

Этап 6

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 3)}^{2}}$

Этап 6.2

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 9}$

Этап 6.3

Добавим $0$ и $9$ .

$| z | = \sqrt{9}$

Этап 6.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$| z | = \sqrt{3^{2}}$

Этап 6.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 3$

Этап 7

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 3})$

Этап 8

Поскольку обратный тангенс $\frac{0}{- 3}$ дает угол во втором квадранте, значение угла равно $π$ .

$θ = π$

Этап 9

Подставим значения $θ = π$ и $| z | = 3$ .

$3 (\cos (π) + i \sin (π))$