Тригонометрия Примеры

$\frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$

Этап 1

Выразим $\sec (t)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (t)}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)}$

Этап 2

Переведем $\frac{1}{\cos (t)}$ в $\sec (t)$ .

$\frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$

Этап 3

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 4

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 5

Подставим фактические значения $a = \frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$ и $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)})}^{2}}$

Этап 6

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)})}^{2}}$

Этап 6.2

Выразим $\sec (t)$ через синусы и косинусы.

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sin (t)}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)})}^{2}}$

Этап 6.3

Применим правило умножения к $\frac{\sin (t)}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{\sin^{2} (t)}{{(\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}^{2}}}$

Этап 6.4

Добавим $0$ и $\frac{\sin^{2} (t)}{{(\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}^{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin^{2} (t)}{{(\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}^{2}}}$

Этап 6.5

Перепишем $\frac{\sin^{2} (t)}{{(\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}^{2}}$ в виде ${(\frac{\sin (t)}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)})}^{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{\sin (t)}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)})}^{2}}$

Этап 6.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = \frac{\sin (t)}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)}$

Этап 6.7

Переведем $\frac{1}{\cos (t)}$ в $\sec (t)$ .

$| z | = \frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$

Этап 7

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)}})$

Этап 8

Подставим значения $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)}})$ и $| z | = \frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$ .

$\frac{\sin (t)}{(\sec (t) - \cos (t)) (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{\sin (t)}{\sec (t) - \cos (t)}})))}$