Тригонометрия Примеры

$\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Этап 1

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 2

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 3

Подставим фактические значения $a = \frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ и $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)})}^{2}}$

Этап 4

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)})}^{2}}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \cos (2 x))}^{2}}{\sin^{2} (2 x)}}$

Этап 4.3

Умножим на $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \cos (2 x))}^{2}}{\sin^{2} (2 x) \cdot 1}}$

Этап 4.4

Разделим дроби.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \cos (2 x))}^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (2 x)}}$

Этап 4.5

Переведем $\frac{1}{\sin^{2} (2 x)}$ в $\csc^{2} (2 x)$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 - \cos (2 x))}^{2}}{1} \cdot \csc^{2} (2 x)}$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Разделим ${(1 - \cos (2 x))}^{2}$ на $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(1 - \cos (2 x))}^{2} \csc^{2} (2 x)}$

Этап 4.6.2

Перепишем ${(1 - \cos (2 x))}^{2}$ в виде $(1 - \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Этап 4.7

Развернем $(1 - \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$| z | = \sqrt{0 + (1 (1 - \cos (2 x)) - \cos (2 x) (1 - \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

Этап 4.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) (1 - \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

Этап 4.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \cdot 1 - \cos (2 x) (- \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

Этап 4.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 1 (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \cdot 1 - \cos (2 x) (- \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

Этап 4.8.1.2

Умножим $- \cos (2 x)$ на $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) \cdot 1 - \cos (2 x) (- \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

Этап 4.8.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x))) \csc^{2} (2 x)}$

Этап 4.8.1.4

Умножим $- \cos (2 x) (- \cos (2 x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + 1 \cos (2 x) \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Этап 4.8.1.4.2

Умножим $\cos (2 x)$ на $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Этап 4.8.1.4.3

Возведем $\cos (2 x)$ в степень $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Этап 4.8.1.4.4

Возведем $\cos (2 x)$ в степень $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Этап 4.8.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + {\cos (2 x)}^{1 + 1}) \csc^{2} (2 x)}$

Этап 4.8.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - \cos (2 x) - \cos (2 x) + \cos^{2} (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Этап 4.8.2

Вычтем $\cos (2 x)$ из $- \cos (2 x)$ .

$| z | = \sqrt{0 + (1 - 2 \cos (2 x) + \cos^{2} (2 x)) \csc^{2} (2 x)}$

Этап 4.9

Применим свойство дистрибутивности.

$| z | = \sqrt{0 + 1 \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) \csc^{2} (2 x)}$

Этап 4.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Умножим $\csc^{2} (2 x)$ на $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) \csc^{2} (2 x)}$

Этап 4.10.2

Выразим $\csc (2 x)$ через синусы и косинусы.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) {(\frac{1}{\sin (2 x)})}^{2}}$

Этап 4.10.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (2 x)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) (\frac{1^{2}}{\sin^{2} (2 x)})}$

Этап 4.10.4

Единица в любой степени равна единице.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) (\frac{1}{\sin^{2} (2 x)})}$

Этап 4.10.5

Объединим $\cos^{2} (2 x)$ и $\frac{1}{\sin^{2} (2 x)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}}$

Этап 4.11

Переведем $\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}$ в $\cot^{2} (2 x)$ .

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)}$

Этап 4.12

Добавим $0$ и $\csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)$ .

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)}$

Этап 5

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}})$

Этап 6

Подставим значения $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}})$ и $| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)}$ .

$\sqrt{\csc^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \csc^{2} (2 x) + \cot^{2} (2 x)} (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{1 - \cos (2 x)}{\sin (2 x)}})))$