Тригонометрия Примеры

$4 \cos^{2} (θ) = 1$

Этап 1

Разделим каждый член $4 \cos^{2} (θ) = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $4 \cos^{2} (θ) = 1$ на $4$ .

$\frac{4 \cos^{2} (θ)}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cos^{2} (θ)}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 1.2.1.2

Разделим $\cos^{2} (θ)$ на $1$ .

$\cos^{2} (θ) = \frac{1}{4}$

Этап 2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\cos (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Этап 3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Этап 3.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Этап 3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{2}$

Этап 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

Этап 4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cos (θ) = - \frac{1}{2}$

Этап 4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cos (θ) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Этап 5

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (θ) = - \frac{1}{2}$

Этап 6

Решим относительно $θ$ в $\cos (θ) = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $60$ .

$θ = 60$

Этап 6.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 360 - 60$

Этап 6.4

Вычтем $60$ из $360$ .

$θ = 300$

Этап 6.5

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 6.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 6.6

Период функции $\cos (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Решим относительно $θ$ в $\cos (θ) = - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (- \frac{1}{2})$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Точное значение $\arccos (- \frac{1}{2})$ : $120$ .

$θ = 120$

Этап 7.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 360 - 120$

Этап 7.4

Вычтем $120$ из $360$ .

$θ = 240$

Этап 7.5

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 7.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 7.6

Период функции $\cos (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 120 + 360 n, 240 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Перечислим все решения.

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n, 120 + 360 n, 240 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $60 + 360 n$ и $240 + 360 n$ в $60 + 180 n$ .

$θ = 60 + 180 n, 300 + 360 n, 120 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 9.2

Объединим $300 + 360 n$ и $120 + 360 n$ в $120 + 180 n$ .

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n$ , для любого целого $n$