Тригонометрия Примеры

$- \frac{1}{1 + i}$

Этап 1

Умножим числитель и знаменатель $\frac{1}{1 + 1 i}$ на комплексно сопряженное $1 + 1 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$- (\frac{1}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i})$

Этап 2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим.

$- \frac{1 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Этап 2.2

Умножим $1 - i$ на $1$ .

$- \frac{1 - i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Этап 2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $(1 + 1 i) (1 - i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1 - i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)}$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)}$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $1$ на $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Этап 2.3.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Этап 2.3.2.3

Умножим $1$ на $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)}$

Этап 2.3.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i i}$

Этап 2.3.2.5

Возведем $i$ в степень $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)}$

Этап 2.3.2.6

Возведем $i$ в степень $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})}$

Этап 2.3.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}}$

Этап 2.3.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}}$

Этап 2.3.2.9

Добавим $- 1 i$ и $1 i$ .

$- \frac{1 - i}{1 + 0 - i^{2}}$

Этап 2.3.2.10

Добавим $1$ и $0$ .

$- \frac{1 - i}{1 - i^{2}}$

Этап 2.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- \frac{1 - i}{1 - - 1}$

Этап 2.3.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1 - i}{1 + 1}$

Этап 2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{1 - i}{2}$

Этап 3

Разобьем дробь $\frac{1 - i}{2}$ на две дроби.

$- (\frac{1}{2} + \frac{- i}{2})$

Этап 4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- (\frac{1}{2} - \frac{i}{2})$

Этап 5

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{2} - - \frac{i}{2}$

Этап 6

Умножим $- - \frac{i}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + 1 \frac{i}{2}$

Этап 6.2

Умножим $\frac{i}{2}$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

Этап 7

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 8

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 9

Подставим фактические значения $a = - \frac{1}{2}$ и $b = \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 10

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 10.2

Единица в любой степени равна единице.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 10.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 10.4

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 10.4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Этап 10.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Этап 10.5.2

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Этап 10.5.3

Единица в любой степени равна единице.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

Этап 10.5.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

Этап 10.5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 1}{4}}$

Этап 10.5.6

Добавим $1$ и $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2}{4}}$

Этап 10.6

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2 (1)}{4}}$

Этап 10.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 10.6.2.2

Сократим общий множитель.

$| z | = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 10.6.2.3

Перепишем это выражение.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 10.7

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 10.8

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 10.9

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 10.10

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.10.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 10.10.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 10.10.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 10.10.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 10.10.5

Добавим $1$ и $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 10.10.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.10.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 10.10.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 10.10.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.10.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.10.6.4.1

Сократим общий множитель.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.10.6.4.2

Перепишем это выражение.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 10.10.6.5

Найдем экспоненту.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 11

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{\frac{1}{2}}{- \frac{1}{2}})$

Этап 12

Поскольку обратный тангенс $\frac{\frac{1}{2}}{- \frac{1}{2}}$ дает угол во втором квадранте, значение угла равно $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Этап 13

Подставим значения $θ = \frac{3 π}{4}$ и $| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))}$