Тригонометрия Примеры

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{8}}{3}$

Этап 1

Воспользуемся определением косинуса, чтобы найти известные стороны прямоугольного треугольника, вписанного в единичную окружность. Квадрант определяет знак каждого значения.

$\cos (θ) = \frac{смежные}{гипотенуза}$

Этап 2

Найдем противолежащую сторону треугольника в единичной окружности. Поскольку прилежащая сторона и гипотенуза известны, используем теорему Пифагора, чтобы найти оставшуюся сторону.

$Противоположные = - \sqrt{{гипотенуза}^{2} - {смежные}^{2}}$

Этап 3

Заменим известные значения в уравнении.

$Противоположные = - \sqrt{{(3)}^{2} - {(- \sqrt{8})}^{2}}$

Этап 4

Упростим подкоренное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим знак $\sqrt{{(3)}^{2} - {(- \sqrt{8})}^{2}}$ на противоположный.

Противоположный $= - \sqrt{{(3)}^{2} - {(- \sqrt{8})}^{2}}$

Этап 4.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

Противоположный $= - \sqrt{9 - {(- \sqrt{8})}^{2}}$

Этап 4.3

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

Противоположный $= - \sqrt{9 - {(- \sqrt{4 (2)})}^{2}}$

Этап 4.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

Противоположный $= - \sqrt{9 - {(- \sqrt{2^{2} \cdot 2})}^{2}}$

Этап 4.4

Вынесем члены из-под знака корня.

Противоположный $= - \sqrt{9 - {(- (2 \sqrt{2}))}^{2}}$

Этап 4.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

Противоположный $= - \sqrt{9 - {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4.6

Применим правило умножения к $- 2 \sqrt{2}$ .

Противоположный $= - \sqrt{9 - ({(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Этап 4.7

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

Противоположный $= - \sqrt{9 - (4 {\sqrt{2}}^{2})}$

Этап 4.8

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

Противоположный $= - \sqrt{9 - (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 4.8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Противоположный $= - \sqrt{9 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Этап 4.8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

Противоположный $= - \sqrt{9 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Этап 4.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.4.1

Сократим общий множитель.

Противоположный $= - \sqrt{9 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Этап 4.8.4.2

Перепишем это выражение.

Противоположный $= - \sqrt{9 - (4 \cdot 2)}$

Этап 4.8.5

Найдем экспоненту.

Противоположный $= - \sqrt{9 - (4 \cdot 2)}$

Этап 4.9

Умножим $- (4 \cdot 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Умножим $4$ на $2$ .

Противоположный $= - \sqrt{9 - 1 \cdot 8}$

Этап 4.9.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

Противоположный $= - \sqrt{9 - 8}$

Этап 4.10

Вычтем $8$ из $9$ .

Противоположный $= - \sqrt{1}$

Этап 4.11

Любой корень из $1$ равен $1$ .

Противоположный $= - 1 \cdot 1$

Этап 4.12

Умножим $- 1$ на $1$ .

Противоположный $= - 1$

Этап 5

Найдем значение синуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Воспользуемся определением синуса, чтобы найти значение $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Этап 5.2

Подставим известные значения.

$\sin (θ) = \frac{- 1}{3}$

Этап 5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (θ) = - \frac{1}{3}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{4 (2)}}{3}$

Этап 6.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3}$

Этап 6.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Этап 7

Найдем значение тангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Воспользуемся определением тангенса, чтобы найти значение $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Этап 7.2

Подставим известные значения.

$\tan (θ) = \frac{- 1}{- \sqrt{8}}$

Этап 7.3

Упростим значение $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{8}}$

Этап 7.3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{4 (2)}}$

Этап 7.3.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Этап 7.3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\tan (θ) = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

Этап 7.3.3

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 7.3.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.1

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 7.3.4.2

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Этап 7.3.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Этап 7.3.4.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Этап 7.3.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 7.3.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 7.3.4.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.3.4.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.3.4.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.4.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.4.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.3.4.7.5

Найдем экспоненту.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.3.5

Умножим $2$ на $2$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Этап 8

Найдем значение котангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Воспользуемся определением котангенса, чтобы найти значение $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Этап 8.2

Подставим известные значения.

$\cot (θ) = \frac{- \sqrt{8}}{- 1}$

Этап 8.3

Упростим значение $\cot (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{8}}{1}$

Этап 8.3.2

Разделим $\sqrt{8}$ на $1$ .

$\cot (θ) = \sqrt{8}$

Этап 8.3.3

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\cot (θ) = \sqrt{4 (2)}$

Этап 8.3.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\cot (θ) = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Этап 8.3.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\cot (θ) = 2 \sqrt{2}$

Этап 9

Найдем значение секанса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Воспользуемся определением секанса, чтобы найти значение $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Этап 9.2

Подставим известные значения.

$\sec (θ) = \frac{3}{- \sqrt{8}}$

Этап 9.3

Упростим значение $\sec (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\sec (θ) = \frac{3}{- \sqrt{4 (2)}}$

Этап 9.3.1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sec (θ) = \frac{3}{- \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\sec (θ) = \frac{3}{- 1 \cdot (2 \sqrt{2})}$

Этап 9.3.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\sec (θ) = \frac{3}{- 2 \sqrt{2}}$

Этап 9.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sec (θ) = - \frac{3}{2 \sqrt{2}}$

Этап 9.3.3

Умножим $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (θ) = - (\frac{3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 9.3.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.1

Умножим $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 9.3.4.2

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Этап 9.3.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Этап 9.3.4.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Этап 9.3.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 9.3.4.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.4.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.4.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.4.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.4.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 9.3.4.7.5

Найдем экспоненту.

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 9.3.5

Умножим $2$ на $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

Этап 10

Найдем значение косеканса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Воспользуемся определением косеканса, чтобы найти значение $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Этап 10.2

Подставим известные значения.

$\csc (θ) = \frac{3}{- 1}$

Этап 10.3

Разделим $3$ на $- 1$ .

$\csc (θ) = - 3$

Этап 11

Это решение для каждого тригонометрического значения.

$\sin (θ) = - \frac{1}{3}$

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\cot (θ) = 2 \sqrt{2}$

$\sec (θ) = - \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

$\csc (θ) = - 3$