Тригонометрия Примеры

$\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)} + \frac{1}{1 - \sin (t)} = 2 \sec^{2} (t)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)} + \frac{1}{1 - \sin (t)}$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - \sin (t)}{1 - \sin (t)}$ .

$\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)} \cdot \frac{1 - \sin (t)}{1 - \sin (t)} + \frac{1}{1 - \sin (t)}$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{1}{1 - \sin (t)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ .

$\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)} \cdot \frac{1 - \sin (t)}{1 - \sin (t)} + \frac{1}{1 - \sin (t)} \cdot \frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 - \sin (t)) \cos^{2} (t)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)}$ на $\frac{1 - \sin (t)}{1 - \sin (t)}$ .

$\frac{(1 - \sin (t)) (1 - \sin (t))}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))} + \frac{1}{1 - \sin (t)} \cdot \frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{1}{1 - \sin (t)}$ на $\frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ .

$\frac{(1 - \sin (t)) (1 - \sin (t))}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))} + \frac{\cos^{2} (t)}{(1 - \sin (t)) \cos^{2} (t)}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(1 - \sin (t)) \cos^{2} (t)$ .

$\frac{(1 - \sin (t)) (1 - \sin (t))}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))} + \frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(1 - \sin (t)) (1 - \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Развернем $(1 - \sin (t)) (1 - \sin (t))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (1 - \sin (t)) - \sin (t) (1 - \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Этап 2.5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (t)) - \sin (t) (1 - \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Этап 2.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (t)) - \sin (t) \cdot 1 - \sin (t) (- \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Этап 2.5.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1 + 1 (- \sin (t)) - \sin (t) \cdot 1 - \sin (t) (- \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Этап 2.5.2.1.2

Умножим $- \sin (t)$ на $1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) \cdot 1 - \sin (t) (- \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Этап 2.5.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) - \sin (t) (- \sin (t)) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Этап 2.5.2.1.4

Умножим $- \sin (t) (- \sin (t))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) + 1 \sin (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Этап 2.5.2.1.4.2

Умножим $\sin (t)$ на $1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Этап 2.5.2.1.4.3

Возведем $\sin (t)$ в степень $1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin^{1} (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Этап 2.5.2.1.4.4

Возведем $\sin (t)$ в степень $1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin^{1} (t) \sin^{1} (t) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Этап 2.5.2.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) + {\sin (t)}^{1 + 1} + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Этап 2.5.2.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Этап 2.5.2.2

Вычтем $\sin (t)$ из $- \sin (t)$ .

$\frac{1 - 2 \sin (t) + \sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Этап 2.5.3

Перепишем $1 - 2 \sin (t) + \sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Применим формулу Пифагора.

$\frac{1 - 2 \sin (t) + 1}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Этап 2.5.3.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 - 2 \sin (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Этап 2.5.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 - 2 \sin (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1) - 2 \sin (t)}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Этап 2.5.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sin (t)$ .

$\frac{2 (1) + 2 (- \sin (t))}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Этап 2.5.3.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (1) + 2 (- \sin (t))$ .

$\frac{2 (1 - \sin (t))}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $1 - \sin (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (1 - \sin (t))}{\cos^{2} (t) (1 - \sin (t))}$

Этап 2.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{\cos^{2} (t)}$

Этап 3

Перепишем $\frac{2}{\cos^{2} (t)}$ в виде $2 \sec^{2} (t)$ .

$2 \sec^{2} (t)$

Этап 4

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1 - \sin (t)}{\cos^{2} (t)} + \frac{1}{1 - \sin (t)} = 2 \sec^{2} (t)$ — тождество