Тригонометрия Примеры

$3 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

$3 {(u)}^{2} - (u) - 1 = 0$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 1$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.1.3

Добавим $1$ и $12$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

Этап 5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.1.3

Добавим $1$ и $12$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

Этап 5.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$u = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$

Этап 6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 6.1.3

Добавим $1$ и $12$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

Этап 6.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$u = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

Этап 7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

Этап 8

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

Этап 9

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

Этап 10

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{13}}{6})$

Этап 10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{1 + \sqrt{13}}{6})$ .

$x = 0.87507547$

Этап 10.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = (3.14159265) - 0.87507547$

Этап 10.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 - 0.87507547$

Этап 10.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) - 0.87507547$

Этап 10.4.3

Вычтем $0.87507547$ из $3.14159265$ .

$x = 2.26651717$

Этап 10.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 10.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 10.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 10.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.87507547 + 2 π n, 2.26651717 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{13}}{6})$

Этап 11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{13}}{6})$ .

$x = - 0.44921499$

Этап 11.3

$x = (3.14159265) + 0.44921499$

Этап 11.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 + 0.44921499$

Этап 11.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) + 0.44921499$

Этап 11.4.3

Добавим $3.14159265$ и $0.44921499$ .

$x = 3.59080764$

Этап 11.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 11.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 11.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 11.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 11.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Добавим $2 π$ к $- 0.44921499$ , чтобы найти положительный угол.

$- 0.44921499 + 2 π$

Этап 11.6.2

Вычтем $0.44921499$ из $2 π$ .

$5.83397031$

Этап 11.6.3

Перечислим новые углы.

$x = 5.83397031$

Этап 11.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 3.59080764 + 2 π n, 5.83397031 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Перечислим все решения.

$x = 0.87507547 + 2 π n, 2.26651717 + 2 π n, 3.59080764 + 2 π n, 5.83397031 + 2 π n$ , для любого целого $n$