Тригонометрия Примеры

$\cos^{2} (θ) - \cos (θ) = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \cos (θ)$ . Подставим $u$ вместо $\cos (θ)$ для всех.

$u^{2} - u = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $u$ из $u^{2} - u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{2}$ .

$u \cdot u - u = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $u$ из $- u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 1 = 0$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot u + u \cdot - 1$ .

$u (u - 1) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) (\cos (θ) - 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$\cos (θ) - 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $\cos (θ)$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\cos (θ)$ к $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Этап 3.2

Решим $\cos (θ) = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (0)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $90$ .

$θ = 90$

Этап 3.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 360 - 90$

Этап 3.2.4

Вычтем $90$ из $360$ .

$θ = 270$

Этап 3.2.5

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 3.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 3.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 3.2.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 3.2.6

Период функции $\cos (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\cos (θ) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\cos (θ) - 1$ к $0$ .

$\cos (θ) - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $\cos (θ) - 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\cos (θ) = 1$

Этап 4.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (1)$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$θ = 0$

Этап 4.2.4

$θ = 360 - 0$

Этап 4.2.5

Вычтем $0$ из $360$ .

$θ = 360$

Этап 4.2.6

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 4.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 4.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 4.2.6.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 4.2.7

Период функции $\cos (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 360 n, 360 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $\cos (θ) (\cos (θ) - 1) = 0$ верно.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n, 360 n, 360 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $90 + 360 n$ и $270 + 360 n$ в $90 + 180 n$ .

$θ = 90 + 180 n, 360 n, 360 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 6.2

Объединим $360 n$ и $360 + 360 n$ в $360 n$ .

$θ = 90 + 180 n, 360 n$ , для любого целого $n$