Тригонометрия Примеры

$\cot^{2} (θ) - 6 \cot (θ) + 8 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \cot (θ)$ . Подставим $u$ вместо $\cot (θ)$ для всех.

$u^{2} - 6 u + 8 = 0$

Этап 1.2

Разложим $u^{2} - 6 u + 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $8$ , а сумма — $- 6$ .

$- 4, - 2$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 4) (u - 2) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cot (θ)$ .

$(\cot (θ) - 4) (\cot (θ) - 2) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cot (θ) - 4 = 0$

$\cot (θ) - 2 = 0$

Этап 3

Приравняем $\cot (θ) - 4$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\cot (θ) - 4$ к $0$ .

$\cot (θ) - 4 = 0$

Этап 3.2

Решим $\cot (θ) - 4 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$\cot (θ) = 4$

Этап 3.2.2

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из котангенса.

$θ = arccot (4)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Найдем значение $arccot (4)$ .

$θ = 14.03624346$

Этап 3.2.4

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 180 + 14.03624346$

Этап 3.2.5

Добавим $180$ и $14.03624346$ .

$θ = 194.03624346$

Этап 3.2.6

Найдем период $\cot (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 3.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 3.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 3.2.6.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 3.2.7

Период функции $\cot (θ)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$θ = 14.03624346 + 180 n, 194.03624346 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\cot (θ) - 2$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\cot (θ) - 2$ к $0$ .

$\cot (θ) - 2 = 0$

Этап 4.2

Решим $\cot (θ) - 2 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\cot (θ) = 2$

Этап 4.2.2

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из котангенса.

$θ = arccot (2)$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Найдем значение $arccot (2)$ .

$θ = 26.56505117$

Этап 4.2.4

$θ = 180 + 26.56505117$

Этап 4.2.5

Добавим $180$ и $26.56505117$ .

$θ = 206.56505117$

Этап 4.2.6

Найдем период $\cot (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 4.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 4.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 4.2.6.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 4.2.7

Период функции $\cot (θ)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$θ = 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\cot (θ) - 4) (\cot (θ) - 2) = 0$ верно.

$θ = 14.03624346 + 180 n, 194.03624346 + 180 n, 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $14.03624346 + 180 n$ и $194.03624346 + 180 n$ в $14.03624346 + 180 n$ .

$θ = 14.03624346 + 180 n, 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 6.2

Объединим $26.56505117 + 180 n$ и $206.56505117 + 180 n$ в $26.56505117 + 180 n$ .

$θ = 14.03624346 + 180 n, 26.56505117 + 180 n$ , для любого целого $n$