Тригонометрия Примеры

$\frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$

Этап 1

Выразим $\tan (t)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{\sec (t) - \cos (t)}$

Этап 2

Выразим $\sec (t)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)}$

Этап 3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)}$

Этап 4

Умножим $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ на $\frac{1}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)}$ .

$\frac{\sin (t)}{\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}$

Этап 5

Разделим дроби.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Этап 6

Переведем $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ в $\tan (t)$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)} \tan (t)$

Этап 7

Переведем $\frac{1}{\cos (t)}$ в $\sec (t)$ .

$\frac{1}{\sec (t) - \cos (t)} \tan (t)$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{\sec (t) - \cos (t)}$ и $\tan (t)$ .

$\frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$

Этап 9

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 10

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 11

Подставим фактические значения $a = \frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$ и $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)})}^{2}}$

Этап 12

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)})}^{2}}$

Этап 12.2

Выразим $\tan (t)$ через синусы и косинусы.

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{\sec (t) - \cos (t)})}^{2}}$

Этап 12.3

Выразим $\sec (t)$ через синусы и косинусы.

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)})}^{2}}$

Этап 12.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)})}^{2}}$

Этап 12.5

Умножим $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ на $\frac{1}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sin (t)}{\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))})}^{2}}$

Этап 12.6

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.1

Применим правило умножения к $\frac{\sin (t)}{\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{\sin^{2} (t)}{{(\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)))}^{2}}}$

Этап 12.6.2

Применим правило умножения к $\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t) {(\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}^{2}}}$

Этап 12.7

Добавим $0$ и $\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t) {(\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}^{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t) {(\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}^{2}}}$

Этап 12.8

Перепишем $\cos^{2} (t) {(\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}^{2}$ в виде ${(\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)))}^{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin^{2} (t)}{{(\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)))}^{2}}}$

Этап 12.9

Перепишем $\frac{\sin^{2} (t)}{{(\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)))}^{2}}$ в виде ${(\frac{\sin (t)}{\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))})}^{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{\sin (t)}{\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))})}^{2}}$

Этап 12.10

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = \frac{\sin (t)}{\cos (t) (\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t))}$

Этап 12.11

Разделим дроби.

$| z | = \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Этап 12.12

Переведем $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ в $\tan (t)$ .

$| z | = \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)} - \cos (t)} \cdot \tan (t)$

Этап 12.13

Переведем $\frac{1}{\cos (t)}$ в $\sec (t)$ .

$| z | = \frac{1}{\sec (t) - \cos (t)} \cdot \tan (t)$

Этап 12.14

Объединим $\frac{1}{\sec (t) - \cos (t)}$ и $\tan (t)$ .

$| z | = \frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$

Этап 13

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)}})$

Этап 14

Подставим значения $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)}})$ и $| z | = \frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)}$ .

$\frac{\tan (t)}{(\sec (t) - \cos (t)) (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{\tan (t)}{\sec (t) - \cos (t)}})))}$