Тригонометрия Примеры

$\tan^{2} (θ) + 5 \tan (θ) + 6 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \tan (θ)$ . Подставим $u$ вместо $\tan (θ)$ для всех.

$u^{2} + 5 u + 6 = 0$

Этап 1.2

Разложим $u^{2} + 5 u + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $5$ .

$2, 3$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u + 2) (u + 3) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (θ)$ .

$(\tan (θ) + 2) (\tan (θ) + 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\tan (θ) + 2 = 0$

$\tan (θ) + 3 = 0$

Этап 3

Приравняем $\tan (θ) + 2$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\tan (θ) + 2$ к $0$ .

$\tan (θ) + 2 = 0$

Этап 3.2

Решим $\tan (θ) + 2 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\tan (θ) = - 2$

Этап 3.2.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (- 2)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Найдем значение $\arctan (- 2)$ .

$θ = - 63.43494882$

Этап 3.2.4

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = - 63.43494882 - 180$

Этап 3.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Добавим $360 °$ к $- 63.43494882 - 180 °$ .

$θ = - 63.43494882 - 180 ° + 360 °$

Этап 3.2.5.2

Результирующий угол $116.56505117 °$ является положительным и отличается от $- 63.43494882 - 180$ на полный оборот.

$θ = 116.56505117 °$

Этап 3.2.6

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 3.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 3.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 3.2.6.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 3.2.7

Добавим $180$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Добавим $180$ к $- 63.43494882$ , чтобы найти положительный угол.

$- 63.43494882 + 180$

Этап 3.2.7.2

Вычтем $63.43494882$ из $180$ .

$116.56505117$

Этап 3.2.7.3

Перечислим новые углы.

$θ = 116.56505117$

Этап 3.2.8

Период функции $\tan (θ)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$θ = 116.56505117 + 180 n, 116.56505117 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\tan (θ) + 3$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\tan (θ) + 3$ к $0$ .

$\tan (θ) + 3 = 0$

Этап 4.2

Решим $\tan (θ) + 3 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$\tan (θ) = - 3$

Этап 4.2.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (- 3)$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Найдем значение $\arctan (- 3)$ .

$θ = - 71.56505117$

Этап 4.2.4

$θ = - 71.56505117 - 180$

Этап 4.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Добавим $360 °$ к $- 71.56505117 - 180 °$ .

$θ = - 71.56505117 - 180 ° + 360 °$

Этап 4.2.5.2

Результирующий угол $108.43494882 °$ является положительным и отличается от $- 71.56505117 - 180$ на полный оборот.

$θ = 108.43494882 °$

Этап 4.2.6

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 4.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 4.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 4.2.6.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 4.2.7

Добавим $180$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Добавим $180$ к $- 71.56505117$ , чтобы найти положительный угол.

$- 71.56505117 + 180$

Этап 4.2.7.2

Вычтем $71.56505117$ из $180$ .

$108.43494882$

Этап 4.2.7.3

Перечислим новые углы.

$θ = 108.43494882$

Этап 4.2.8

Период функции $\tan (θ)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$θ = 108.43494882 + 180 n, 108.43494882 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\tan (θ) + 2) (\tan (θ) + 3) = 0$ верно.

$θ = 116.56505117 + 180 n, 108.43494882 + 180 n$ , для любого целого $n$