Тригонометрия Примеры

$3 \tan^{3} (x) = \tan (x)$

Этап 1

Вычтем $\tan (x)$ из обеих частей уравнения.

$3 \tan^{3} (x) - \tan (x) = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $3 \tan^{3} (x) - \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $3 \tan^{3} (x)$ .

$\tan (x) (3 \tan^{2} (x)) - \tan (x) = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $- \tan (x)$ .

$\tan (x) (3 \tan^{2} (x)) + \tan (x) \cdot - 1 = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $\tan (x) (3 \tan^{2} (x)) + \tan (x) \cdot - 1$ .

$\tan (x) (3 \tan^{2} (x) - 1) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\tan (x) = 0$

$3 \tan^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 4

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ .

$\tan (x) = 0$

Этап 4.2

Решим $\tan (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (0)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 4.2.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 180 + 0$

Этап 4.2.4

Добавим $180$ и $0$ .

$x = 180$

Этап 4.2.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 4.2.5.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 4.2.6

Период функции $\tan (x)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$x = 180 n, 180 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $3 \tan^{2} (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $3 \tan^{2} (x) - 1$ к $0$ .

$3 \tan^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $3 \tan^{2} (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 \tan^{2} (x) = 1$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $3 \tan^{2} (x) = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $3 \tan^{2} (x) = 1$ на $3$ .

$\frac{3 \tan^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \tan^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $\tan^{2} (x)$ на $1$ .

$\tan^{2} (x) = \frac{1}{3}$

Этап 5.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\tan (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Этап 5.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.2.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 5.2.4.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.2.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 5.2.4.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 5.2.4.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 5.2.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 5.2.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 5.2.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.2.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.2.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.2.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.2.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 5.2.4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 5.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 5.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 5.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 5.2.6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 5.2.7

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 5.2.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.2.1

Точное значение $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ : $30$ .

$x = 30$

Этап 5.2.7.3

$x = 180 + 30$

Этап 5.2.7.4

Добавим $180$ и $30$ .

$x = 210$

Этап 5.2.7.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 5.2.7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 5.2.7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 5.2.7.5.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 5.2.7.6

Период функции $\tan (x)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$x = 30 + 180 n, 210 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.8

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 5.2.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.2.1

Точное значение $\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ : $- 30$ .

$x = - 30$

Этап 5.2.8.3

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - 30 - 180$

Этап 5.2.8.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.4.1

Добавим $360 °$ к $- 30 - 180 °$ .

$x = - 30 - 180 ° + 360 °$

Этап 5.2.8.4.2

Результирующий угол $150 °$ является положительным и отличается от $- 30 - 180$ на полный оборот.

$x = 150 °$

Этап 5.2.8.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 5.2.8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 5.2.8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 5.2.8.5.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 5.2.8.6

Добавим $180$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.6.1

Добавим $180$ к $- 30$ , чтобы найти положительный угол.

$- 30 + 180$

Этап 5.2.8.6.2

Вычтем $30$ из $180$ .

$150$

Этап 5.2.8.6.3

Перечислим новые углы.

$x = 150$

Этап 5.2.8.7

Период функции $\tan (x)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$x = 150 + 180 n, 150 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.9

Перечислим все решения.

$x = 30 + 180 n, 210 + 180 n, 150 + 180 n, 150 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.10

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Объединим $30 + 180 n$ и $210 + 180 n$ в $30 + 180 n$ .

$x = 30 + 180 n, 150 + 180 n, 150 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.10.2

Объединим $150 + 180 n$ и $150 + 180 n$ в $150 + 180 n$ .

$x = 30 + 180 n, 150 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $\tan (x) (3 \tan^{2} (x) - 1) = 0$ верно.

$x = 180 n, 180 + 180 n, 30 + 180 n, 150 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим $180 n$ и $180 + 180 n$ в $180 n$ .

$x = 180 n, 30 + 180 n, 150 + 180 n$ , для любого целого $n$