Тригонометрия Примеры

$1 + 2 \cot^{2} (θ) + \cot^{4} (θ) = \csc^{4} (θ)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$1 + 2 \cot^{2} (θ) + \cot^{4} (θ)$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$1^{2} + 2 \cot^{2} (θ) + \cot^{4} (θ)$

Этап 2.2

Перепишем $\cot^{4} (θ)$ в виде ${(\cot^{2} (θ))}^{2}$ .

$1^{2} + 2 \cot^{2} (θ) + {(\cot^{2} (θ))}^{2}$

Этап 2.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 \cot^{2} (θ) = 2 \cdot 1 \cdot \cot^{2} (θ)$

Этап 2.4

Перепишем многочлен.

$1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \cot^{2} (θ) + {(\cot^{2} (θ))}^{2}$

Этап 2.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = 1$ и $b = \cot^{2} (θ)$ .

${(1 + \cot^{2} (θ))}^{2}$

Этап 3

Применим формулу Пифагора.

${(\csc^{2} (θ))}^{2}$

Этап 4

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (θ)$ .

${({(\frac{1}{\sin (θ)})}^{2})}^{2}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (θ)}$ .

${(\frac{1^{2}}{\sin^{2} (θ)})}^{2}$

Этап 4.3

Применим правило умножения к $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (θ)}$ .

$\frac{{(1^{2})}^{2}}{{(\sin^{2} (θ))}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перемножим экспоненты в ${(1^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1^{2 \cdot 2}}{{({\sin (θ)}^{2})}^{2}}$

Этап 5.1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1^{4}}{{({\sin (θ)}^{2})}^{2}}$

Этап 5.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{{({\sin (θ)}^{2})}^{2}}$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${({\sin (θ)}^{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{\sin^{4} (θ)}$

Этап 6

Перепишем $\frac{1}{\sin^{4} (θ)}$ в виде $\csc^{4} (θ)$ .

$\csc^{4} (θ)$

Этап 7

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$1 + 2 \cot^{2} (θ) + \cot^{4} (θ) = \csc^{4} (θ)$ — тождество