Тригонометрия Примеры

$\cot (θ) + \csc (θ) = \frac{\sin (θ) + \tan (θ)}{\sin (θ) \tan (θ)}$

Этап 1

Начнем с правой части.

$\frac{\sin (θ) + \tan (θ)}{\sin (θ) \tan (θ)}$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $\tan (θ)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\sin (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \tan (θ)}$

Этап 2.2

Запишем $\tan (θ)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\sin (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $\sin (θ)$ из $\sin (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Этап 3.1.1.2

Вынесем множитель $\sin (θ)$ из $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) \frac{1}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Этап 3.1.1.3

Вынесем множитель $\sin (θ)$ из $\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) \frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) (1 + \frac{1}{\cos (θ)})}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Этап 3.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\sin (θ) (\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)})}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Этап 3.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Этап 3.2

Объединим $\sin (θ)$ и $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{1} \sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Этап 3.3.2

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{1} {\sin (θ)}^{1}}{\cos (θ)}}$

Этап 3.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ)}}$

Этап 3.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin (θ) \frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{2}}{\cos (θ)}}$

Этап 3.4

Объединим $\sin (θ)$ и $\frac{\cos (θ) + 1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\frac{\sin (θ) (\cos (θ) + 1)}{\cos (θ)}}{\frac{{\sin (θ)}^{2}}{\cos (θ)}}$

Этап 3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sin (θ) (\cos (θ) + 1)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{{\sin (θ)}^{2}}$

Этап 3.6

Объединим.

$\frac{\sin (θ) (\cos (θ) + 1) \cos (θ)}{\cos (θ) {\sin (θ)}^{2}}$

Этап 3.7

Сократим общий множитель $\sin (θ)$ и ${\sin (θ)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вынесем множитель $\sin (θ)$ из $\sin (θ) (\cos (θ) + 1) \cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) ((\cos (θ) + 1) \cos (θ))}{\cos (θ) {\sin (θ)}^{2}}$

Этап 3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Вынесем множитель $\sin (θ)$ из $\cos (θ) {\sin (θ)}^{2}$ .

$\frac{\sin (θ) ((\cos (θ) + 1) \cos (θ))}{\sin (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

Этап 3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (θ) ((\cos (θ) + 1) \cos (θ))}{\sin (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

Этап 3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(\cos (θ) + 1) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 3.8

Сократим общий множитель $\cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) + 1}{\sin (θ)}$

Этап 4

Теперь рассмотрим левую часть уравнения.

$\cot (θ) + \csc (θ)$

Этап 5

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Запишем $\cot (θ)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \csc (θ)$

Этап 5.2

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (θ)$ .

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos (θ) + 1}{\sin (θ)}$

Этап 7

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\cot (θ) + \csc (θ) = \frac{\sin (θ) + \tan (θ)}{\sin (θ) \tan (θ)}$ — тождество