Тригонометрия Примеры

$\tan^{2} (θ) - 6 \tan (θ) + 5 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \tan (θ)$ . Подставим $u$ вместо $\tan (θ)$ для всех.

$u^{2} - 6 u + 5 = 0$

Этап 1.2

Разложим $u^{2} - 6 u + 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $5$ , а сумма — $- 6$ .

$- 5, - 1$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 5) (u - 1) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (θ)$ .

$(\tan (θ) - 5) (\tan (θ) - 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\tan (θ) - 5 = 0$

$\tan (θ) - 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $\tan (θ) - 5$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\tan (θ) - 5$ к $0$ .

$\tan (θ) - 5 = 0$

Этап 3.2

Решим $\tan (θ) - 5 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$\tan (θ) = 5$

Этап 3.2.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (5)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Найдем значение $\arctan (5)$ .

$θ = 78.69006752$

Этап 3.2.4

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 180 + 78.69006752$

Этап 3.2.5

Добавим $180$ и $78.69006752$ .

$θ = 258.69006752$

Этап 3.2.6

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 3.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 3.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 3.2.6.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 3.2.7

Период функции $\tan (θ)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$θ = 78.69006752 + 180 n, 258.69006752 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\tan (θ) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\tan (θ) - 1$ к $0$ .

$\tan (θ) - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $\tan (θ) - 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\tan (θ) = 1$

Этап 4.2.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (1)$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $45$ .

$θ = 45$

Этап 4.2.4

$θ = 180 + 45$

Этап 4.2.5

Добавим $180$ и $45$ .

$θ = 225$

Этап 4.2.6

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 4.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 4.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 4.2.6.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 4.2.7

Период функции $\tan (θ)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$θ = 45 + 180 n, 225 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\tan (θ) - 5) (\tan (θ) - 1) = 0$ верно.

$θ = 78.69006752 + 180 n, 258.69006752 + 180 n, 45 + 180 n, 225 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $78.69006752 + 180 n$ и $258.69006752 + 180 n$ в $78.69006752 + 180 n$ .

$θ = 78.69006752 + 180 n, 45 + 180 n, 225 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 6.2

Объединим $45 + 180 n$ и $225 + 180 n$ в $45 + 180 n$ .

$θ = 78.69006752 + 180 n, 45 + 180 n$ , для любого целого $n$