Тригонометрия Примеры

$\cos (t) (\frac{\cos (t)}{\sin (t)} + \tan (t)) = \frac{1}{\sin (t)}$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\cos (t) (\frac{\cos (t)}{\sin (t)} + \tan (t))$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выразим $\tan (t)$ через синусы и косинусы.

$\cos (t) (\frac{\cos (t)}{\sin (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)} + \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Этап 2.3

Умножим $\cos (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $\cos (t)$ и $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t)}{\sin (t)} + \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Этап 2.3.2

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{\sin (t)} + \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Этап 2.3.3

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{\sin (t)} + \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Этап 2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{\sin (t)} + \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Этап 2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t)}{\sin (t)} + \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $\cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos^{2} (t)}{\sin (t)} + \cos (t) \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Этап 2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos^{2} (t)}{\sin (t)} + \sin (t)$

Этап 3

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{1 - \sin^{2} (t)}{\sin (t)} + \sin (t)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\sin (t)}^{2}}{\sin (t)} + \sin (t)$

Этап 4.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \sin (t)$ .

$\frac{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}{\sin (t)} + \sin (t)$

Этап 4.2

Чтобы записать $\sin (t)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}{\sin (t)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{\sin (t)}$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t)}$

Этап 4.4

Упростим числитель.

$\frac{1}{\sin (t)}$

Этап 5

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\cos (t) (\frac{\cos (t)}{\sin (t)} + \tan (t)) = \frac{1}{\sin (t)}$ — тождество