Тригонометрия Примеры

$\cos (θ) + \sin (θ) \cdot \tan (θ)$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\tan (θ)$ через синусы и косинусы.

$\cos (θ) + \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 1.2

Умножим $\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$\cos (θ) + \frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 1.2.2

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$\cos (θ) + \frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (θ) + \frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ)}$

Этап 1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (θ) + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $\sin (θ)$ из $\sin^{2} (θ)$ .

$\cos (θ) + \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 2.2

Разделим дроби.

$\cos (θ) + \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 2.3

Переведем $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ в $\tan (θ)$ .

$\cos (θ) + \frac{\sin (θ)}{1} \tan (θ)$

Этап 2.4

Разделим $\sin (θ)$ на $1$ .

$\cos (θ) + \sin (θ) \tan (θ)$

Этап 3

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 4

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 5

Подставим фактические значения $a = \cos (θ)$ и $b = \sin (θ) \tan (θ)$ .

$| z | = \sqrt{\sin (θ) \tan^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)}$

Этап 6

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Выразим $\tan (θ)$ через синусы и косинусы.

$| z | = \sqrt{\sin (θ) {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} + \cos^{2} (θ)}$

Этап 6.2

Применим правило умножения к $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$| z | = \sqrt{\sin (θ) (\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}) + \cos^{2} (θ)}$

Этап 6.3

Умножим $\sin (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Объединим $\sin (θ)$ и $\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin (θ) \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \cos^{2} (θ)}$

Этап 6.3.2

Умножим $\sin (θ)$ на $\sin^{2} (θ)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $\sin (θ)$ на $\sin^{2} (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin (θ) \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \cos^{2} (θ)}$

Этап 6.3.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$| z | = \sqrt{\frac{{\sin (θ)}^{1 + 2}}{\cos^{2} (θ)} + \cos^{2} (θ)}$

Этап 6.3.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin^{3} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \cos^{2} (θ)}$

Этап 6.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $\sin^{2} (θ)$ из $\sin^{3} (θ)$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin^{2} (θ) \sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \cos^{2} (θ)}$

Этап 6.4.2

Умножим на $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin^{2} (θ) \sin (θ)}{\cos^{2} (θ) \cdot 1} + \cos^{2} (θ)}$

Этап 6.4.3

Разделим дроби.

$| z | = \sqrt{\frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \cos^{2} (θ)}$

Этап 6.4.4

Переведем $\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ в $\tan^{2} (θ)$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin (θ)}{1} \cdot \tan^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)}$

Этап 6.4.5

Разделим $\sin (θ)$ на $1$ .

$| z | = \sqrt{\sin (θ) \tan^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)}$

Этап 7

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{\sin (θ) \tan (θ)}{\cos (θ)})$

Этап 8

Подставим значения $θ = \arctan (\frac{\sin (θ) \tan (θ)}{\cos (θ)})$ и $| z | = \sqrt{\sin (θ) \tan^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)}$ .

$\sqrt{\sin (θ) \tan^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)} (\cos (\arctan (\frac{\sin (θ) \tan (θ)}{\cos (θ)})) + i \sin (\arctan (\frac{\sin (θ) \tan (θ)}{\cos (θ)})))$