Тригонометрия Примеры

$\csc^{2} (θ) + \csc (θ) - 2 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \csc (θ)$ . Подставим $u$ вместо $\csc (θ)$ для всех.

$u^{2} + u - 2 = 0$

Этап 1.2

Разложим $u^{2} + u - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\csc (θ)$ .

$(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 2) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\csc (θ) - 1 = 0$

$\csc (θ) + 2 = 0$

Этап 3

Приравняем $\csc (θ) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\csc (θ) - 1$ к $0$ .

$\csc (θ) - 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $\csc (θ) - 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\csc (θ) = 1$

Этап 3.2.2

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $θ$ из-под знака косеканса.

$θ = arccsc (1)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Точное значение $arccsc (1)$ : $90$ .

$θ = 90$

Этап 3.2.4

Функция косеканса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ = 180 - 90$

Этап 3.2.5

Вычтем $90$ из $180$ .

$θ = 90$

Этап 3.2.6

Найдем период $\csc (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 3.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 3.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 3.2.6.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 3.2.7

Период функции $\csc (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 90 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\csc (θ) + 2$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\csc (θ) + 2$ к $0$ .

$\csc (θ) + 2 = 0$

Этап 4.2

Решим $\csc (θ) + 2 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\csc (θ) = - 2$

Этап 4.2.2

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $θ$ из-под знака косеканса.

$θ = arccsc (- 2)$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Точное значение $arccsc (- 2)$ : $- 30$ .

$θ = - 30$

Этап 4.2.4

Функция косеканса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $360$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $180$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 360 + 30 + 180$

Этап 4.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Вычтем $360 °$ из $360 + 30 + 180 °$ .

$θ = 360 + 30 + 180 ° - 360 °$

Этап 4.2.5.2

Результирующий угол $210 °$ является положительным, меньшим $360 °$ и отличается от $360 + 30 + 180$ на полный оборот.

$θ = 210 °$

Этап 4.2.6

Найдем период $\csc (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 4.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 4.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 4.2.6.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 4.2.7

Добавим $360$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Добавим $360$ к $- 30$ , чтобы найти положительный угол.

$- 30 + 360$

Этап 4.2.7.2

Вычтем $30$ из $360$ .

$330$

Этап 4.2.7.3

Перечислим новые углы.

$θ = 330$

Этап 4.2.8

Период функции $\csc (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 2) = 0$ верно.

$θ = 90 + 360 n, 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Объединим ответы.

$θ = 90 + 120 n$ , для любого целого $n$