Тригонометрия Примеры

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{8}$

Этап 1

Воспользуемся определением котангенса, чтобы найти известные стороны прямоугольного треугольника, вписанного в единичную окружность. Квадрант определяет знак каждого значения.

$\cot (θ) = \frac{смежные}{противоположные}$

Этап 2

Найдем гипотенузу треугольника в единичной окружности. Поскольку известны противолежащая и прилежащая стороны, используем теорему Пифагора, чтобы найти оставшуюся сторону.

$Гипотенуза = \sqrt{{противоположные}^{2} + {смежные}^{2}}$

Этап 3

Заменим известные значения в уравнении.

$Гипотенуза = \sqrt{{(- 8)}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 4

Упростим подкоренное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

Гипотенуза $= \sqrt{64 + {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

Гипотенуза $= \sqrt{64 + {(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 4.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

Гипотенуза $= \sqrt{64 + 1 {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 4.4

Умножим ${\sqrt{3}}^{2}$ на $1$ .

Гипотенуза $= \sqrt{64 + {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 4.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

Гипотенуза $= \sqrt{64 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Гипотенуза $= \sqrt{64 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

Гипотенуза $= \sqrt{64 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1

Сократим общий множитель.

Гипотенуза $= \sqrt{64 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.5.4.2

Перепишем это выражение.

Гипотенуза $= \sqrt{64 + 3}$

Этап 4.5.5

Найдем экспоненту.

Гипотенуза $= \sqrt{64 + 3}$

Этап 4.6

Добавим $64$ и $3$ .

Гипотенуза $= \sqrt{67}$

Этап 5

Найдем значение синуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Воспользуемся определением синуса, чтобы найти значение $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Этап 5.2

Подставим известные значения.

$\sin (θ) = \frac{- 8}{\sqrt{67}}$

Этап 5.3

Упростим значение $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (θ) = - \frac{8}{\sqrt{67}}$

Этап 5.3.2

Умножим $\frac{8}{\sqrt{67}}$ на $\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{8}{\sqrt{67}} \cdot \frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67}})$

Этап 5.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $\frac{8}{\sqrt{67}}$ на $\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{8 \sqrt{67}}{\sqrt{67} \sqrt{67}}$

Этап 5.3.3.2

Возведем $\sqrt{67}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{8 \sqrt{67}}{\sqrt{67} \sqrt{67}}$

Этап 5.3.3.3

Возведем $\sqrt{67}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{8 \sqrt{67}}{\sqrt{67} \sqrt{67}}$

Этап 5.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (θ) = - \frac{8 \sqrt{67}}{{\sqrt{67}}^{1 + 1}}$

Этап 5.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{8 \sqrt{67}}{{\sqrt{67}}^{2}}$

Этап 5.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{67}}^{2}$ в виде $67$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{67}$ в виде $67^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{8 \sqrt{67}}{{(67^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{8 \sqrt{67}}{67^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (θ) = - \frac{8 \sqrt{67}}{67^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = - \frac{8 \sqrt{67}}{67^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = - \frac{8 \sqrt{67}}{67}$

Этап 5.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (θ) = - \frac{8 \sqrt{67}}{67}$

Этап 6

Найдем значение косинуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Воспользуемся определением косинуса, чтобы найти значение $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Этап 6.2

Подставим известные значения.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{3}}{\sqrt{67}}$

Этап 6.3

Упростим значение $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{67}}$

Этап 6.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{67}}$ на $\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{67}} \cdot \frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67}})$

Этап 6.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{67}}$ на $\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{67}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{\sqrt{67} \sqrt{67}}$

Этап 6.3.3.2

Возведем $\sqrt{67}$ в степень $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{\sqrt{67} \sqrt{67}}$

Этап 6.3.3.3

Возведем $\sqrt{67}$ в степень $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{\sqrt{67} \sqrt{67}}$

Этап 6.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{{\sqrt{67}}^{1 + 1}}$

Этап 6.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{{\sqrt{67}}^{2}}$

Этап 6.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{67}}^{2}$ в виде $67$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{67}$ в виде $67^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{{(67^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{67^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{67^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{67^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{67}$

Этап 6.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{67}}{67}$

Этап 6.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3 \cdot 67}}{67}$

Этап 6.3.4.2

Умножим $3$ на $67$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{201}}{67}$

Этап 7

Найдем значение тангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Воспользуемся определением тангенса, чтобы найти значение $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Этап 7.2

Подставим известные значения.

$\tan (θ) = \frac{- 8}{- \sqrt{3}}$

Этап 7.3

Упростим значение $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\tan (θ) = \frac{8}{\sqrt{3}}$

Этап 7.3.2

Умножим $\frac{8}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (θ) = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 7.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Умножим $\frac{8}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (θ) = \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 7.3.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\tan (θ) = \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 7.3.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\tan (θ) = \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 7.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\tan (θ) = \frac{8 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 7.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\tan (θ) = \frac{8 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 7.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (θ) = \frac{8 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = \frac{8 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\tan (θ) = \frac{8 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\tan (θ) = \frac{8 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\tan (θ) = \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Этап 7.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\tan (θ) = \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Этап 8

Найдем значение секанса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Воспользуемся определением секанса, чтобы найти значение $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Этап 8.2

Подставим известные значения.

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{67}}{- \sqrt{3}}$

Этап 8.3

Упростим значение $\sec (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (θ) = - (\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 8.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{67}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 8.3.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 8.3.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 8.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 8.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{3}$

Этап 8.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67} \sqrt{3}}{3}$

Этап 8.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{67 \cdot 3}}{3}$

Этап 8.3.4.2

Умножим $67$ на $3$ .

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{201}}{3}$

Этап 9

Найдем значение косеканса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Воспользуемся определением косеканса, чтобы найти значение $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Этап 9.2

Подставим известные значения.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{67}}{- 8}$

Этап 9.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{67}}{8}$

Этап 10

Это решение для каждого тригонометрического значения.

$\sin (θ) = - \frac{8 \sqrt{67}}{67}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{201}}{67}$

$\tan (θ) = \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{8}$

$\sec (θ) = - \frac{\sqrt{201}}{3}$

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{67}}{8}$