Тригонометрия Примеры

$3 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})) \cdot 5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) \cdot 5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 1.3

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 (\frac{1}{2}) + 3 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 2.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{3}{2} + 3 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 2.3

Объединим $3$ и $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{3}{2} + \frac{3 (i \sqrt{3})}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(\frac{3}{2} \cdot 5 + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot 5) (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 3

Умножим $\frac{3}{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $5$ .

$(\frac{3 \cdot 5}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot 5) (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 3.2

Умножим $3$ на $5$ .

$(\frac{15}{2} + \frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot 5) (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 4

Умножим $\frac{3 i \sqrt{3}}{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{3 i \sqrt{3}}{2}$ и $5$ .

$(\frac{15}{2} + \frac{3 i \sqrt{3} \cdot 5}{2}) (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 4.2

Умножим $5$ на $3$ .

$(\frac{15}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2}) (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{15}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 5.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{15}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 5.3

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{15}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Этап 6

Развернем $(\frac{15}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{15}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2}) + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{15}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{15}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{15}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{15}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $\frac{15}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Умножим $\frac{15}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{15}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.1.2

Умножим $\frac{15}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $\frac{15}{2}$ на $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 (i \sqrt{2})}{2 \cdot 2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 (i \sqrt{2})}{4} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.1.3

Умножим $\frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Умножим $\frac{15 i \sqrt{3}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.1.3.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.1.3.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.1.4

Умножим $\frac{15 i \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Умножим $\frac{15 i \sqrt{3}}{2}$ на $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i \sqrt{3} (i \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Этап 7.1.4.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 (i^{1} i) \sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.1.4.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i^{2} \sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.1.4.6

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i^{2} \sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.1.4.7

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i^{2} \sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.1.4.8

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 i^{2} \sqrt{6}}{4}$

Этап 7.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{15 \cdot - 1 \sqrt{6}}{4}$

Этап 7.1.5.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.2.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{- (15 \sqrt{6})}{4}$

Этап 7.1.5.2.2

Умножим $15$ на $- 1$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} + \frac{- 15 \sqrt{6}}{4}$

Этап 7.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4} - \frac{15 \sqrt{6}}{4}$

Этап 7.2

Изменим порядок $\frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4}$ и $- \frac{15 \sqrt{6}}{4}$ .

$- \frac{15 \sqrt{6}}{4} + \frac{15 \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{2}}{4} + \frac{15 i \sqrt{6}}{4}$

Этап 8

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 9

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 10

Подставим фактические значения $a = - \frac{15 \sqrt{6}}{4}$ и $b = \frac{15 \sqrt{2}}{4}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{15 \sqrt{2}}{4})}^{2} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Этап 11

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Применим правило умножения к $\frac{15 \sqrt{2}}{4}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{{(15 \sqrt{2})}^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Этап 11.1.2

Применим правило умножения к $15 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{15^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Этап 11.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведем $15$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225 {\sqrt{2}}^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Этап 11.2.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Этап 11.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Этап 11.2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Этап 11.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$| z | = \sqrt{\frac{225 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Этап 11.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$| z | = \sqrt{\frac{225 \cdot 2}{4^{2}} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Этап 11.2.2.5

Найдем экспоненту.

$| z | = \sqrt{\frac{225 \cdot 2}{4^{2}} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Этап 11.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225 \cdot 2}{16} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Этап 11.3.2

Умножим $225$ на $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{450}{16} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Этап 11.3.3

Сократим общий множитель $450$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $450$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2 (225)}{16} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Этап 11.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2 \cdot 225}{2 \cdot 8} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Этап 11.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$| z | = \sqrt{\frac{2 \cdot 225}{2 \cdot 8} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Этап 11.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + {(- \frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Этап 11.4

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Применим правило умножения к $- \frac{15 \sqrt{6}}{4}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + {(- 1)}^{2} {(\frac{15 \sqrt{6}}{4})}^{2}}$

Этап 11.4.2

Применим правило умножения к $\frac{15 \sqrt{6}}{4}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + {(- 1)}^{2} (\frac{{(15 \sqrt{6})}^{2}}{4^{2}})}$

Этап 11.4.3

Применим правило умножения к $15 \sqrt{6}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + {(- 1)}^{2} (\frac{15^{2} {\sqrt{6}}^{2}}{4^{2}})}$

Этап 11.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + 1 (\frac{15^{2} {\sqrt{6}}^{2}}{4^{2}})}$

Этап 11.5.2

Умножим $\frac{15^{2} {\sqrt{6}}^{2}}{4^{2}}$ на $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{15^{2} {\sqrt{6}}^{2}}{4^{2}}}$

Этап 11.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Возведем $15$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{225 {\sqrt{6}}^{2}}{4^{2}}}$

Этап 11.6.2

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{225 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}}}$

Этап 11.6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{225 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}}}$

Этап 11.6.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{225 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}}$

Этап 11.6.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.2.4.1

Сократим общий множитель.

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{225 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}}$

Этап 11.6.2.4.2

Перепишем это выражение.

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{225 \cdot 6}{4^{2}}}$

Этап 11.6.2.5

Найдем экспоненту.

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{225 \cdot 6}{4^{2}}}$

Этап 11.7

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{225 \cdot 6}{16}}$

Этап 11.7.2

Умножим $225$ на $6$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{1350}{16}}$

Этап 11.7.3

Сократим общий множитель $1350$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.3.1

Вынесем множитель $2$ из $1350$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{2 (675)}{16}}$

Этап 11.7.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{2 \cdot 675}{2 \cdot 8}}$

Этап 11.7.3.2.2

Сократим общий множитель.

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{2 \cdot 675}{2 \cdot 8}}$

Этап 11.7.3.2.3

Перепишем это выражение.

$| z | = \sqrt{\frac{225}{8} + \frac{675}{8}}$

Этап 11.7.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$| z | = \sqrt{\frac{225 + 675}{8}}$

Этап 11.7.4.2

Добавим $225$ и $675$ .

$| z | = \sqrt{\frac{900}{8}}$

Этап 11.7.5

Сократим общий множитель $900$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.5.1

Вынесем множитель $4$ из $900$ .

$| z | = \sqrt{\frac{4 (225)}{8}}$

Этап 11.7.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$| z | = \sqrt{\frac{4 \cdot 225}{4 \cdot 2}}$

Этап 11.7.5.2.2

Сократим общий множитель.

$| z | = \sqrt{\frac{4 \cdot 225}{4 \cdot 2}}$

Этап 11.7.5.2.3

Перепишем это выражение.

$| z | = \sqrt{\frac{225}{2}}$

Этап 11.8

Перепишем $\sqrt{\frac{225}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{2}}$

Этап 11.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.1

Перепишем $225$ в виде $15^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{15^{2}}}{\sqrt{2}}$

Этап 11.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = \frac{15}{\sqrt{2}}$

Этап 11.10

Умножим $\frac{15}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{15}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 11.11

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.11.1

Умножим $\frac{15}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{15 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 11.11.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$| z | = \frac{15 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 11.11.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$| z | = \frac{15 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 11.11.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$| z | = \frac{15 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 11.11.5

Добавим $1$ и $1$ .

$| z | = \frac{15 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 11.11.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.11.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{15 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 11.11.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{15 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 11.11.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| z | = \frac{15 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 11.11.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.11.6.4.1

Сократим общий множитель.

$| z | = \frac{15 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 11.11.6.4.2

Перепишем это выражение.

$| z | = \frac{15 \sqrt{2}}{2}$

Этап 11.11.6.5

Найдем экспоненту.

$| z | = \frac{15 \sqrt{2}}{2}$

Этап 12

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{\frac{15 \sqrt{2}}{4}}{- \frac{15 \sqrt{6}}{4}})$

Этап 13

Поскольку обратный тангенс $\frac{\frac{15 \sqrt{2}}{4}}{- \frac{15 \sqrt{6}}{4}}$ дает угол во втором квадранте, значение угла равно $\frac{5 π}{6}$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Этап 14

Подставим значения $θ = \frac{5 π}{6}$ и $| z | = \frac{15 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{2 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))}$