Тригонометрия Примеры

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Этап 1

Начнем с правой части.

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Этап 2

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$1 - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Этап 3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$1^{2} - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Этап 3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \sin (x)$ .

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \tan^{2} (x)$

Этап 4

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \sec^{2} (x) - 1$

Этап 5

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1$

Этап 5.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Развернем $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Этап 6.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Этап 6.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Этап 6.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Этап 6.1.2.1.2

Умножим $- \sin (x)$ на $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Этап 6.1.2.1.3

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Этап 6.1.2.1.4

Умножим $\sin (x) (- \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.4.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x)) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Этап 6.1.2.1.4.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Этап 6.1.2.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Этап 6.1.2.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Этап 6.1.2.2

Добавим $- \sin (x)$ и $\sin (x)$ .

$1 + 0 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Этап 6.1.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$1 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Этап 6.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$1 - {\sin (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Этап 6.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$- {\sin (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + 0$

Этап 6.3

Добавим $- {\sin (x)}^{2}$ и $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 7

Запишем $- \sin^{2} (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 8

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Чтобы записать $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{- \sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 8.2

Умножим $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ на $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 8.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 9

Упростим числитель.

$\frac{(1 + \cos (x) \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Этап 10

Теперь рассмотрим левую часть уравнения.

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Этап 11

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \sin^{2} (x)$

Этап 11.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

Этап 12

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

Этап 13

Запишем $- \sin^{2} (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1}$

Этап 14

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Чтобы записать $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 14.2

Умножим $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ на $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 14.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 15

Упростим числитель.

$\frac{(1 + \cos (x) \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Этап 16

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\sec^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ — тождество