Тригонометрия Примеры

$\frac{1 - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{1 - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 2

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{1 - (1 - \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + (- 1 \cdot 1 - - \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4

Упростим каждый член.

$\frac{1 + (- 1 + \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 - 1 \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 6

Упростим каждый член.

$\frac{1 - \cos^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 7

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 8

Изменим порядок членов.

$\frac{\cos^{4} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 9

Теперь рассмотрим правую часть уравнения.

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Этап 10

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\cos^{2} (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 10.2

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 11

Запишем $\cos^{2} (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 12

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Чтобы записать $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 12.2

Умножим $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ на $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 12.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 13

Умножим ${\cos (x)}^{2}$ на ${\cos (x)}^{2}$ , сложив экспоненты.

$\frac{\cos^{4} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 14

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1 - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ — тождество