Тригонометрия Примеры

$\sec (θ) = - \sqrt{10}$ , $\cot (θ) > 0$

Этап 1

The cotangent function is positive in the first and third quadrants. The secant function is negative in the second and third quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the third quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

Решение находится в третьем квадранте.

Этап 2

Воспользуемся определением секанса, чтобы найти известные стороны прямоугольного треугольника, вписанного в единичную окружность. Квадрант определяет знак каждого значения.

$\sec (θ) = \frac{гипотенуза}{смежные}$

Этап 3

Найдем противолежащую сторону треугольника в единичной окружности. Поскольку прилежащая сторона и гипотенуза известны, используем теорему Пифагора, чтобы найти оставшуюся сторону.

$Противоположные = - \sqrt{{гипотенуза}^{2} - {смежные}^{2}}$

Этап 4

Заменим известные значения в уравнении.

$Противоположные = - \sqrt{{(\sqrt{10})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Этап 5

Упростим подкоренное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим знак $\sqrt{{(\sqrt{10})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$ на противоположный.

Противоположный $= - \sqrt{{(\sqrt{10})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Этап 5.2

Перепишем ${\sqrt{10}}^{2}$ в виде $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{10}$ в виде $10^{\frac{1}{2}}$ .

Противоположный $= - \sqrt{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Этап 5.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Противоположный $= - \sqrt{10^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(- 1)}^{2}}$

Этап 5.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

Противоположный $= - \sqrt{10^{\frac{2}{2}} - {(- 1)}^{2}}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

Противоположный $= - \sqrt{10^{\frac{2}{2}} - {(- 1)}^{2}}$

Этап 5.2.4.2

Перепишем это выражение.

Противоположный $= - \sqrt{10 - {(- 1)}^{2}}$

Этап 5.2.5

Найдем экспоненту.

Противоположный $= - \sqrt{10 - {(- 1)}^{2}}$

Этап 5.3

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

Противоположный $= - \sqrt{10 + (- 1) {(- 1)}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

Противоположный $= - \sqrt{10 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Этап 5.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

Противоположный $= - \sqrt{10 + {(- 1)}^{3}}$

Этап 5.4

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

Противоположный $= - \sqrt{10 - 1}$

Этап 5.5

Вычтем $1$ из $10$ .

Противоположный $= - \sqrt{9}$

Этап 5.6

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

Противоположный $= - \sqrt{3^{2}}$

Этап 5.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

Противоположный $= - 1 \cdot 3$

Этап 5.8

Умножим $- 1$ на $3$ .

Противоположный $= - 3$

Этап 6

Найдем значение синуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Воспользуемся определением синуса, чтобы найти значение $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Этап 6.2

Подставим известные значения.

$\sin (θ) = \frac{- 3}{\sqrt{10}}$

Этап 6.3

Упростим значение $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (θ) = - \frac{3}{\sqrt{10}}$

Этап 6.3.2

Умножим $\frac{3}{\sqrt{10}}$ на $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

Этап 6.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим $\frac{3}{\sqrt{10}}$ на $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Этап 6.3.3.2

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Этап 6.3.3.3

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Этап 6.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Этап 6.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Этап 6.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{10}}^{2}$ в виде $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{10}$ в виде $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

Этап 6.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

Этап 7

Найдем значение косинуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Воспользуемся определением косинуса, чтобы найти значение $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Этап 7.2

Подставим известные значения.

$\cos (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{10}}$

Этап 7.3

Упростим значение $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (θ) = - \frac{1}{\sqrt{10}}$

Этап 7.3.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{10}}$ на $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

Этап 7.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{10}}$ на $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Этап 7.3.3.2

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Этап 7.3.3.3

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Этап 7.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Этап 7.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Этап 7.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{10}}^{2}$ в виде $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{10}$ в виде $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

Этап 7.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

Этап 8

Найдем значение тангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Воспользуемся определением тангенса, чтобы найти значение $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Этап 8.2

Подставим известные значения.

$\tan (θ) = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 8.3

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$\tan (θ) = 3$

Этап 9

Найдем значение котангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Воспользуемся определением котангенса, чтобы найти значение $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Этап 9.2

Подставим известные значения.

$\cot (θ) = \frac{- 1}{- 3}$

Этап 9.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\cot (θ) = \frac{1}{3}$

Этап 10

Найдем значение косеканса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Воспользуемся определением косеканса, чтобы найти значение $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Этап 10.2

Подставим известные значения.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{10}}{- 3}$

Этап 10.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{3}$

Этап 11

Это решение для каждого тригонометрического значения.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\tan (θ) = 3$

$\cot (θ) = \frac{1}{3}$

$\sec (θ) = - \sqrt{10}$

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{3}$