Тригонометрия Примеры

$\frac{1}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = \frac{(\cos (x) + 1)}{\sin^{3} (x)}$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{1}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x))}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{1}{\sin (x) + \sin (x) (- \cos (x))}$

Этап 3.2

Изменим порядок множителей в $\sin (x) + \sin (x) (- \cos (x))$ .

$\frac{1}{\sin (x) - \sin (x) \cos (x)}$

Этап 4

Умножим $\frac{1}{\sin (x) - \sin (x) \cos (x)}$ на $\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) - \sin (x) \cos (x)} \cdot \frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}$

Этап 5

Объединим.

$\frac{1 (- \sin (x) - \sin (x) \cos (x))}{(\sin (x) - \sin (x) \cos (x)) (- \sin (x) - \sin (x) \cos (x))}$

Этап 6

Умножим $- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)$ на $1$ .

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{(\sin (x) - \sin (x) \cos (x)) (- \sin (x) - \sin (x) \cos (x))}$

Этап 7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Развернем $(\sin (x) - \sin (x) \cos (x)) (- \sin (x) - \sin (x) \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) (- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)) - \sin (x) \cos (x) (- \sin (x) - \sin (x) \cos (x))}$

Этап 7.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x) \cos (x)) - \sin (x) \cos (x) (- \sin (x) - \sin (x) \cos (x))}$

Этап 7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{\sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x) \cos (x)) - \sin (x) \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) (- \sin (x) \cos (x))}$

Этап 7.2

Упростим и объединим подобные члены.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}$

Этап 8

Применим формулу Пифагора.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $- \sin^{2} (x)$ из $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- \sin^{2} (x) (1) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}$

Этап 8.2

Вынесем множитель $- \sin^{2} (x)$ из $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- \sin^{2} (x) (1) - \sin^{2} (x) (- 1 \cos^{2} (x))}$

Этап 8.3

Вынесем множитель $- \sin^{2} (x)$ из $- \sin^{2} (x) (1) - \sin^{2} (x) (- 1 \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- \sin^{2} (x) (1 - 1 \cos^{2} (x))}$

Этап 8.4

Перепишем $- 1 \cos^{2} (x)$ в виде $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- \sin^{2} (x) (1 - \cos^{2} (x))}$

Этап 8.5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим ${\sin (x)}^{2}$ на ${\sin (x)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перенесем ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- ({\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2})}$

Этап 9.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- {\sin (x)}^{2 + 2}}$

Этап 9.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{- {\sin (x)}^{4}}$

Этап 9.2

Вынесем множитель $- \sin (x)$ из $- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $- \sin (x)$ из $- \sin (x)$ .

$\frac{- \sin (x) (1) - \sin (x) \cos (x)}{- {\sin (x)}^{4}}$

Этап 9.2.2

Вынесем множитель $- \sin (x)$ из $- \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x) (1) - \sin (x) (\cos (x))}{- {\sin (x)}^{4}}$

Этап 9.2.3

Вынесем множитель $- \sin (x)$ из $- \sin (x) (1) - \sin (x) (\cos (x))$ .

$\frac{- \sin (x) (1 + \cos (x))}{- {\sin (x)}^{4}}$

Этап 9.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{{\sin (x)}^{4}}$

Этап 9.4

Сократим общие множители.

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

Этап 10

Перепишем $\frac{1 + \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$ в виде $\frac{(\cos (x) + 1)}{\sin^{3} (x)}$ .

$\frac{(\cos (x) + 1)}{\sin^{3} (x)}$

Этап 11

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1}{\sin (x) (1 - \cos (x))} = \frac{\cos (x) + 1}{\sin^{3} (x)}$ — тождество