Тригонометрия Примеры

$2 \sin (t) \cos (t) + 1 = {(\frac{\sec (t) + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

Этап 1

Начнем с правой части.

${(\frac{\sec (t) + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (t)$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

Этап 2.2

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (t)$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$

Этап 2.3

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (t)$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \csc (t)})}^{2}$

Этап 2.4

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (t)$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Чтобы записать $\frac{1}{\cos (t)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Этап 2.5.1.2

Чтобы записать $\frac{1}{\sin (t)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

${(\frac{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} + \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Этап 2.5.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\cos (t) \sin (t)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.3.1

Умножим $\frac{1}{\cos (t)}$ на $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

${(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Этап 2.5.1.3.2

Умножим $\frac{1}{\sin (t)}$ на $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

${(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\sin (t) \cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

${(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Этап 2.5.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

${(\frac{\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}})}^{2}$

Этап 2.5.2

Умножим $\frac{1}{\cos (t)}$ на $\frac{1}{\sin (t)}$ .

${(\frac{\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t) \sin (t)}})}^{2}$

Этап 2.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

${(\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)} (\cos (t) \sin (t)))}^{2}$

Этап 2.5.4

Сократим общий множитель $\cos (t) \sin (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Сократим общий множитель.

${(\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)} (\cos (t) \sin (t)))}^{2}$

Этап 2.5.4.2

Перепишем это выражение.

${(\sin (t) + \cos (t))}^{2}$

Этап 2.5.5

Перепишем ${(\sin (t) + \cos (t))}^{2}$ в виде $(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$ .

$(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$

Этап 2.5.6

Развернем $(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (t) (\sin (t) + \cos (t)) + \cos (t) (\sin (t) + \cos (t))$

Этап 2.5.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) (\sin (t) + \cos (t))$

Этап 2.5.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t)$

Этап 2.5.7

Упростим и объединим подобные члены.

$\sin^{2} (t) + 2 \cos (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)$

Этап 3

Применим формулу Пифагора.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $\cos^{2} (t)$ .

$\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t) + 2 \cos (t) \sin (t)$

Этап 3.2

Применим формулу Пифагора.

$1 + 2 \cos (t) \sin (t)$

Этап 4

Перепишем $1 + 2 \cos (t) \sin (t)$ в виде $2 \sin (t) \cos (t) + 1$ .

$2 \sin (t) \cos (t) + 1$

Этап 5

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$2 \sin (t) \cos (t) + 1 = {(\frac{\sec (t) + \csc (t)}{\sec (t) \csc (t)})}^{2}$ — тождество