Тригонометрия Примеры

$\csc^{2} (θ) \cdot \tan^{2} (θ) - 1 = \tan^{2} (θ)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\csc^{2} (θ) \cdot \tan^{2} (θ) - 1$

Этап 2

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$(1 + \cot^{2} (θ)) \cdot \tan^{2} (θ) - 1$

Этап 3

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем $\cot (θ)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$(1 + {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}) \cdot \tan^{2} (θ) - 1$

Этап 3.2

Запишем $\tan (θ)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$(1 + {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}) \cdot {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} - 1$

Этап 3.3

Применим правило умножения к $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$(1 + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}) \cdot {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} - 1$

Этап 3.4

Применим правило умножения к $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$(1 + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}) \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - 1$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} - 1$

Этап 4.1.2

Умножим $\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$ на $1$ .

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} - 1$

Этап 4.1.3

Объединим.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2} {\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2} {\cos (θ)}^{2}} - 1$

Этап 4.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Сократим общий множитель ${\cos (θ)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2} {\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2} {\cos (θ)}^{2}} - 1$

Этап 4.1.4.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} - 1$

Этап 4.1.4.2

Сократим общий множитель ${\sin (θ)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} - 1$

Этап 4.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + 1 - 1$

Этап 4.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + 0$

Этап 4.3

Добавим $\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$ и $0$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Этап 5

Перепишем $\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ в виде $\tan^{2} (θ)$ .

$\tan^{2} (θ)$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\csc^{2} (θ) \cdot \tan^{2} (θ) - 1 = \tan^{2} (θ)$ — тождество