Тригонометрия Примеры

$\sin (θ) + \cos (θ) \cdot \cot (θ) = 2$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\cot (θ)$ через синусы и косинусы.

$\sin (θ) + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = 2$

Этап 1.1.2

Умножим $\cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = 2$

Этап 1.1.2.2

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)} = 2$

Этап 1.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (θ) + \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)} = 2$

Этап 1.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = 2$

Этап 2

Умножим обе части уравнения на $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) (\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \cdot 2$

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Этап 4

Умножим $\sin (θ) \sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$\sin^{1} (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Этап 4.2

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Этап 4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\sin (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Этап 4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Этап 5

Сократим общий множитель $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель.

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \cdot 2$

Этап 5.2

Перепишем это выражение.

$\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = \sin (θ) \cdot 2$

Этап 6

Применим формулу Пифагора.

$1 = \sin (θ) \cdot 2$

Этап 7

Перенесем $2$ влево от $\sin (θ)$ .

$1 = 2 \sin (θ)$

Этап 8

Перепишем уравнение в виде $2 \sin (θ) = 1$ .

$2 \sin (θ) = 1$

Этап 9

Разделим каждый член $2 \sin (θ) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим каждый член $2 \sin (θ) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 9.2.1.2

Разделим $\sin (θ)$ на $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Этап 10

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 11

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Этап 12

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ = π - \frac{π}{6}$

Этап 13

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 13.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 13.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 13.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 13.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Этап 14

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 14.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 14.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 14.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 15

Период функции $\sin (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$