Тригонометрия Примеры

$\cos (θ) + \sin (θ) \cdot \tan (θ) = 2$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\tan (θ)$ через синусы и косинусы.

$\cos (θ) + \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)} = 2$

Этап 1.1.2

Умножим $\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$\cos (θ) + \frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)} = 2$

Этап 1.1.2.2

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$\cos (θ) + \frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos (θ)} = 2$

Этап 1.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (θ) + \frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ)} = 2$

Этап 1.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (θ) + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = 2$

Этап 2

Умножим обе части уравнения на $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) (\cos (θ) + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)}) = \cos (θ) \cdot 2$

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Этап 4

Умножим $\cos (θ) \cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Этап 4.2

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Этап 4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\cos (θ)}^{1 + 1} + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Этап 4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Этап 5

Сократим общий множитель $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель.

$\cos^{2} (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Этап 5.2

Перепишем это выражение.

$\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot 2$

Этап 6

Переставляем члены.

$\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot 2$

Этап 7

Применим формулу Пифагора.

$1 = \cos (θ) \cdot 2$

Этап 8

Перенесем $2$ влево от $\cos (θ)$ .

$1 = 2 \cos (θ)$

Этап 9

Перепишем уравнение в виде $2 \cos (θ) = 1$ .

$2 \cos (θ) = 1$

Этап 10

Разделим каждый член $2 \cos (θ) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разделим каждый член $2 \cos (θ) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 10.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 10.2.1.2

Разделим $\cos (θ)$ на $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

Этап 11

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 12

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Этап 13

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 14

Упростим $2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 14.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 14.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 14.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 14.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Этап 15

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 15.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 15.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 15.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 16

Период функции $\cos (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$