Тригонометрия Примеры

$\frac{1}{1 + \sec (s)} + \frac{1}{1 - \sec (s)} = - 2 \cot^{2} (s)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{1}{1 + \sec (s)} + \frac{1}{1 - \sec (s)}$

Этап 2

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{1}{1 + \sec (s)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - \sec (s)}{1 - \sec (s)}$ .

$\frac{1}{1 + \sec (s)} \cdot \frac{1 - \sec (s)}{1 - \sec (s)} + \frac{1}{1 - \sec (s)}$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{1}{1 - \sec (s)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + \sec (s)}{1 + \sec (s)}$ .

$\frac{1}{1 + \sec (s)} \cdot \frac{1 - \sec (s)}{1 - \sec (s)} + \frac{1}{1 - \sec (s)} \cdot \frac{1 + \sec (s)}{1 + \sec (s)}$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 + \sec (s)) (1 - \sec (s))$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{1}{1 + \sec (s)}$ на $\frac{1 - \sec (s)}{1 - \sec (s)}$ .

$\frac{1 - \sec (s)}{(1 + \sec (s)) (1 - \sec (s))} + \frac{1}{1 - \sec (s)} \cdot \frac{1 + \sec (s)}{1 + \sec (s)}$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{1}{1 - \sec (s)}$ на $\frac{1 + \sec (s)}{1 + \sec (s)}$ .

$\frac{1 - \sec (s)}{(1 + \sec (s)) (1 - \sec (s))} + \frac{1 + \sec (s)}{(1 - \sec (s)) (1 + \sec (s))}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(1 - \sec (s)) (1 + \sec (s))$ .

$\frac{1 - \sec (s)}{(1 + \sec (s)) (1 - \sec (s))} + \frac{1 + \sec (s)}{(1 + \sec (s)) (1 - \sec (s))}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - \sec (s) + 1 + \sec (s)}{(1 + \sec (s)) (1 - \sec (s))}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 - \sec (s) + \sec (s)}{(1 + \sec (s)) (1 - \sec (s))}$

Этап 3.2

Добавим $- \sec (s)$ и $\sec (s)$ .

$\frac{2 + 0}{(1 + \sec (s)) (1 - \sec (s))}$

Этап 3.3

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{2}{(1 + \sec (s)) (1 - \sec (s))}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(1 + \sec (s)) (1 - \sec (s))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2}{1 (1 - \sec (s)) + \sec (s) (1 - \sec (s))}$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (s)) + \sec (s) (1 - \sec (s))}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (s)) + \sec (s) \cdot 1 + \sec (s) (- \sec (s))}$

Этап 4.2

Упростим и объединим подобные члены.

$\frac{2}{1 - \sec^{2} (s)}$

Этап 5

Применим формулу Пифагора.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок $1$ и $- \sec^{2} (s)$ .

$\frac{2}{- \sec^{2} (s) + 1}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec^{2} (s)$ .

$\frac{2}{- (\sec^{2} (s)) + 1}$

Этап 5.3

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2}{- \sec^{2} (s) - 1 \cdot - 1}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec^{2} (s) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{2}{- (\sec^{2} (s) - 1)}$

Этап 5.5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{2}{- \tan^{2} (s)}$

Этап 6

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Запишем $\tan (s)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{2}{- {(\frac{\sin (s)}{\cos (s)})}^{2}}$

Этап 6.2

Применим правило умножения к $\frac{\sin (s)}{\cos (s)}$ .

$\frac{2}{- \frac{\sin^{2} (s)}{\cos^{2} (s)}}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 (- \frac{{\cos (s)}^{2}}{{\sin (s)}^{2}})$

Этап 7.2

Умножим $2 (- \frac{{\cos (s)}^{2}}{{\sin (s)}^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \frac{{\cos (s)}^{2}}{{\sin (s)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{{\cos (s)}^{2}}{{\sin (s)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 {\cos (s)}^{2}}{{\sin (s)}^{2}}$

Этап 7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 \cos^{2} (s)}{\sin^{2} (s)}$

Этап 8

Запишем $- 1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2 \cos^{2} (s)}{\sin^{2} (s)}$

Этап 9

Объединим.

$\frac{- (2 \cos^{2} (s))}{1 \sin^{2} (s)}$

Этап 10

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (s)}{1 \sin^{2} (s)}$

Этап 11

Умножим ${\sin (s)}^{2}$ на $1$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (s)}{\sin^{2} (s)}$

Этап 12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 \cos^{2} (s)}{\sin^{2} (s)}$

Этап 13

Теперь рассмотрим правую часть уравнения.

$- 2 \cot^{2} (s)$

Этап 14

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Запишем $\cot (s)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$- 2 {(\frac{\cos (s)}{\sin (s)})}^{2}$

Этап 14.2

Применим правило умножения к $\frac{\cos (s)}{\sin (s)}$ .

$- 2 \frac{\cos^{2} (s)}{\sin^{2} (s)}$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $- 2$ и $\frac{{\cos (s)}^{2}}{{\sin (s)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 {\cos (s)}^{2}}{{\sin (s)}^{2}}$

Этап 15.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 \cos^{2} (s)}{\sin^{2} (s)}$

Этап 16

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1}{1 + \sec (s)} + \frac{1}{1 - \sec (s)} = - 2 \cot^{2} (s)$ — тождество