Тригонометрия Примеры

$\sin^{2} (θ) + 3 \sin (θ) - 4 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \sin (θ)$ . Подставим $u$ вместо $\sin (θ)$ для всех.

$u^{2} + 3 u - 4 = 0$

Этап 1.2

Разложим $u^{2} + 3 u - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $3$ .

$- 1, 4$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 1) (u + 4) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (θ)$ .

$(\sin (θ) - 1) (\sin (θ) + 4) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (θ) - 1 = 0$

$\sin (θ) + 4 = 0$

Этап 3

Приравняем $\sin (θ) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\sin (θ) - 1$ к $0$ .

$\sin (θ) - 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $\sin (θ) - 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\sin (θ) = 1$

Этап 3.2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (1)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $90$ .

$θ = 90$

Этап 3.2.4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ = 180 - 90$

Этап 3.2.5

Вычтем $90$ из $180$ .

$θ = 90$

Этап 3.2.6

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 3.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 3.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 3.2.6.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 3.2.7

Период функции $\sin (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 90 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\sin (θ) + 4$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\sin (θ) + 4$ к $0$ .

$\sin (θ) + 4 = 0$

Этап 4.2

Решим $\sin (θ) + 4 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$\sin (θ) = - 4$

Этап 4.2.2

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- 4$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\sin (θ) - 1) (\sin (θ) + 4) = 0$ верно.

$θ = 90 + 360 n$ , для любого целого $n$