Тригонометрия Примеры

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \sin (θ)$ . Подставим $u$ вместо $\sin (θ)$ для всех.

$u^{2} + u = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $u$ из $u^{2} + u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{2}$ .

$u \cdot u + u = 0$

Этап 1.2.2

Возведем $u$ в степень $1$ .

$u \cdot u + u = 0$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u^{1}$ .

$u \cdot u + u \cdot 1 = 0$

Этап 1.2.4

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$u (u + 1) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) (\sin (θ) + 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$\sin (θ) + 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $\sin (θ)$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\sin (θ)$ к $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Этап 3.2

Решим $\sin (θ) = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (0)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$θ = 0$

Этап 3.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ = 180 - 0$

Этап 3.2.4

Вычтем $0$ из $180$ .

$θ = 180$

Этап 3.2.5

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 3.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 3.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 3.2.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 3.2.6

Период функции $\sin (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 360 n, 180 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\sin (θ) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\sin (θ) + 1$ к $0$ .

$\sin (θ) + 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $\sin (θ) + 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin (θ) = - 1$

Этап 4.2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (- 1)$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- 90$ .

$θ = - 90$

Этап 4.2.4

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $360$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $180$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 360 + 90 + 180$

Этап 4.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Вычтем $360 °$ из $360 + 90 + 180 °$ .

$θ = 360 + 90 + 180 ° - 360 °$

Этап 4.2.5.2

Результирующий угол $270 °$ является положительным, меньшим $360 °$ и отличается от $360 + 90 + 180$ на полный оборот.

$θ = 270 °$

Этап 4.2.6

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 4.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 4.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 4.2.6.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 4.2.7

Добавим $360$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Добавим $360$ к $- 90$ , чтобы найти положительный угол.

$- 90 + 360$

Этап 4.2.7.2

Вычтем $90$ из $360$ .

$270$

Этап 4.2.7.3

Перечислим новые углы.

$θ = 270$

Этап 4.2.8

Период функции $\sin (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 270 + 360 n, 270 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sin (θ) (\sin (θ) + 1) = 0$ верно.

$θ = 360 n, 180 + 360 n, 270 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Объединим $360 n$ и $180 + 360 n$ в $180 n$ .

$θ = 180 n, 270 + 360 n$ , для любого целого $n$