Тригонометрия Примеры

$\sin (x) \cos (x) + \cos (x) = 0$

Этап 1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\sin (x) \cos (x) + \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \sin (x) + \cos (x) = 0$

Этап 1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\cos (x) \sin (x) + \cos (x) = 0$

Этап 1.3

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{1} (x)$ .

$\cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cdot 1 = 0$

Этап 1.4

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cdot 1$ .

$\cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 3.2

Решим $\cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $90$ .

$x = 90$

Этап 3.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 360 - 90$

Этап 3.2.4

Вычтем $90$ из $360$ .

$x = 270$

Этап 3.2.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 3.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 3.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 3.2.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 3.2.6

Период функции $\cos (x)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$x = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\sin (x) + 1$ к $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $\sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin (x) = - 1$

Этап 4.2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- 90$ .

$x = - 90$

Этап 4.2.4

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $360$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $180$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 360 + 90 + 180$

Этап 4.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Вычтем $360 °$ из $360 + 90 + 180 °$ .

$x = 360 + 90 + 180 ° - 360 °$

Этап 4.2.5.2

Результирующий угол $270 °$ является положительным, меньшим $360 °$ и отличается от $360 + 90 + 180$ на полный оборот.

$x = 270 °$

Этап 4.2.6

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 4.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 4.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 4.2.6.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 4.2.7

Добавим $360$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Добавим $360$ к $- 90$ , чтобы найти положительный угол.

$- 90 + 360$

Этап 4.2.7.2

Вычтем $90$ из $360$ .

$270$

Этап 4.2.7.3

Перечислим новые углы.

$x = 270$

Этап 4.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$x = 270 + 360 n, 270 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $\cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$ верно.

$x = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Объединим ответы.

$x = 90 + 180 n$ , для любого целого $n$