Тригонометрия Примеры

$\csc (θ) - \sin (θ)$ ?

Этап 1

Выразим $\csc (θ)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\sin (θ)} - \sin (θ)$

Этап 2

Переведем $\frac{1}{\sin (θ)}$ в $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) - \sin (θ)$

Этап 3

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 4

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 5

Подставим фактические значения $a = \csc (θ)$ и $b = - 1 \sin (θ)$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1 \sin (θ))}^{2} + \csc^{2} (θ)}$

Этап 6

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $- 1 \sin (θ)$ в виде $- \sin (θ)$ .

$| z | = \sqrt{{(- \sin (θ))}^{2} + \csc^{2} (θ)}$

Этап 6.2

Применим правило умножения к $- \sin (θ)$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} \sin^{2} (θ) + \csc^{2} (θ)}$

Этап 6.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{1 \sin^{2} (θ) + \csc^{2} (θ)}$

Этап 6.4

Умножим $\sin^{2} (θ)$ на $1$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (θ) + \csc^{2} (θ)}$

Этап 6.5

Выразим $\csc (θ)$ через синусы и косинусы.

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (θ) + {(\frac{1}{\sin (θ)})}^{2}}$

Этап 6.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (θ)}$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (θ) + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (θ)}}$

Этап 6.6.2

Единица в любой степени равна единице.

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (θ) + \frac{1}{\sin^{2} (θ)}}$

Этап 6.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (θ) + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (θ)}}$

Этап 6.7.2

Перепишем $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (θ)}$ в виде ${(\frac{1}{\sin (θ)})}^{2}$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (θ) + {(\frac{1}{\sin (θ)})}^{2}}$

Этап 6.7.3

Переведем $\frac{1}{\sin (θ)}$ в $\csc (θ)$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (θ) + \csc^{2} (θ)}$

Этап 7

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{- 1 \sin (θ)}{\csc (θ)})$

Этап 8

Подставим значения $θ = \arctan (\frac{- 1 \sin (θ)}{\csc (θ)})$ и $| z | = \sqrt{\sin^{2} (θ) + \csc^{2} (θ)}$ .

$\sqrt{\sin^{2} (θ) + \csc^{2} (θ)} (\cos (\arctan (\frac{- 1 \sin (θ)}{\csc (θ)})) + i \sin (\arctan (\frac{- 1 \sin (θ)}{\csc (θ)})))$