Тригонометрия Примеры

$25 \cot^{2} (θ) - 1 = 0$

Этап 1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$25 \cot^{2} (θ) = 1$

Этап 2

Разделим каждый член $25 \cot^{2} (θ) = 1$ на $25$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $25 \cot^{2} (θ) = 1$ на $25$ .

$\frac{25 \cot^{2} (θ)}{25} = \frac{1}{25}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{25 \cot^{2} (θ)}{25} = \frac{1}{25}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\cot^{2} (θ)$ на $1$ .

$\cot^{2} (θ) = \frac{1}{25}$

Этап 3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\cot (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{25}}$

Этап 4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{25}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{25}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$ .

$\cot (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$

Этап 4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\cot (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{25}}$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\cot (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Этап 4.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\cot (θ) = \pm \frac{1}{5}$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cot (θ) = \frac{1}{5}$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cot (θ) = - \frac{1}{5}$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cot (θ) = \frac{1}{5}, - \frac{1}{5}$

Этап 6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{5}$

$\cot (θ) = - \frac{1}{5}$

Этап 7

Решим относительно $θ$ в $\cot (θ) = \frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из котангенса.

$θ = arccot (\frac{1}{5})$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $arccot (\frac{1}{5})$ .

$θ = 78.69006752$

Этап 7.3

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 180 + 78.69006752$

Этап 7.4

Добавим $180$ и $78.69006752$ .

$θ = 258.69006752$

Этап 7.5

Найдем период $\cot (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 7.5.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 7.6

Период функции $\cot (θ)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$θ = 78.69006752 + 180 n, 258.69006752 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Решим относительно $θ$ в $\cot (θ) = - \frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из котангенса.

$θ = arccot (- \frac{1}{5})$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $arccot (- \frac{1}{5})$ .

$θ = 101.30993247$

Этап 8.3

Функция котангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 101.30993247 - 180$

Этап 8.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Добавим $360 °$ к $101.30993247 - 180 °$ .

$θ = 101.30993247 - 180 ° + 360 °$

Этап 8.4.2

Результирующий угол $281.30993247 °$ является положительным и отличается от $101.30993247 - 180$ на полный оборот.

$θ = 281.30993247 °$

Этап 8.5

Найдем период $\cot (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 8.5.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 8.6

Период функции $\cot (θ)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$θ = 101.30993247 + 180 n, 281.30993247 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Перечислим все решения.

$θ = 78.69006752 + 180 n, 258.69006752 + 180 n, 101.30993247 + 180 n, 281.30993247 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $78.69006752 + 180 n$ и $258.69006752 + 180 n$ в $78.69006752 + 180 n$ .

$θ = 78.69006752 + 180 n, 101.30993247 + 180 n, 281.30993247 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 10.2

Объединим $101.30993247 + 180 n$ и $281.30993247 + 180 n$ в $101.30993247 + 180 n$ .

$θ = 78.69006752 + 180 n, 101.30993247 + 180 n$ , для любого целого $n$