Тригонометрия Примеры

$\frac{\sin^{2} (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 1

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 2

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 3

Подставим фактические значения $a = \frac{\sin^{2} (x)}{1 + \cos (x)}$ и $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sin^{2} (x)}{1 + \cos (x)})}^{2}}$

Этап 4

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sin^{2} (x)}{1 + \cos (x)})}^{2}}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $\frac{\sin^{2} (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(\sin^{2} (x))}^{2}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}}$

Этап 4.3

Перемножим экспоненты в ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sin (x)}^{2 \cdot 2}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{\sin^{4} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}}$

Этап 4.4

Добавим $0$ и $\frac{\sin^{4} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin^{4} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}}$

Этап 4.5

Перепишем $\sin^{4} (x)$ в виде ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{{(\sin^{2} (x))}^{2}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}}$

Этап 4.6

Перепишем $\frac{{(\sin^{2} (x))}^{2}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$ в виде ${(\frac{\sin^{2} (x)}{1 + \cos (x)})}^{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{\sin^{2} (x)}{1 + \cos (x)})}^{2}}$

Этап 4.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = \frac{\sin^{2} (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 5

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\sin^{2} (x)}{1 + \cos (x)}})$

Этап 6

Подставим значения $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\sin^{2} (x)}{1 + \cos (x)}})$ и $| z | = \frac{\sin^{2} (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{(1 + \cos (x)) (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{\sin^{2} (x)}{1 + \cos (x)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{\sin^{2} (x)}{1 + \cos (x)}})))}$