Тригонометрия Примеры

$\frac{\tan (x) - \cot (x)}{\tan (x) + \cot (x)}$

Этап 1

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 2

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 3

Подставим фактические значения $a = \frac{\tan (x) - \cot (x)}{\tan (x) + \cot (x)}$ и $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\tan (x) - \cot (x)}{\tan (x) + \cot (x)})}^{2}}$

Этап 4

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\tan (x) - \cot (x)}{\tan (x) + \cot (x)})}^{2}}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $\frac{\tan (x) - \cot (x)}{\tan (x) + \cot (x)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(\tan (x) - \cot (x))}^{2}}{{(\tan (x) + \cot (x))}^{2}}}$

Этап 4.3

Добавим $0$ и $\frac{{(\tan (x) - \cot (x))}^{2}}{{(\tan (x) + \cot (x))}^{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{{(\tan (x) - \cot (x))}^{2}}{{(\tan (x) + \cot (x))}^{2}}}$

Этап 4.4

Перепишем $\frac{{(\tan (x) - \cot (x))}^{2}}{{(\tan (x) + \cot (x))}^{2}}$ в виде ${(\frac{\tan (x) - \cot (x)}{\tan (x) + \cot (x)})}^{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{\tan (x) - \cot (x)}{\tan (x) + \cot (x)})}^{2}}$

Этап 4.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = \frac{\tan (x) - \cot (x)}{\tan (x) + \cot (x)}$

Этап 5

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\tan (x) - \cot (x)}{\tan (x) + \cot (x)}})$

Этап 6

Подставим значения $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\tan (x) - \cot (x)}{\tan (x) + \cot (x)}})$ и $| z | = \frac{\tan (x) - \cot (x)}{\tan (x) + \cot (x)}$ .

$\frac{\tan (x) - \cot (x)}{(\tan (x) + \cot (x)) (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{\tan (x) - \cot (x)}{\tan (x) + \cot (x)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{\tan (x) - \cot (x)}{\tan (x) + \cot (x)}})))}$